T4: Óptica · Óptica geométrica — FISICA PEvAU Andalucía 2017

Óptica geométrica

Problema

2017 · Extraordinaria · Titular

3A-b

b) Sobre una de las caras de una lámina de vidrio de caras paralelas y espesor

8 \text{ cm}

, colocada horizontalmente en el aire, incide un rayo de luz con un ángulo de

30^{\circ}

respecto de la normal. Calcule el tiempo que tarda la luz en atravesar la lámina y el desplazamiento horizontal, con respecto a la normal en el punto de incidencia, que experimenta el rayo al emerger por la otra cara de la lámina de vidrio.

Datos: $c = 3 \cdot 10^{8} \text{ m s}^{-1}$ ; $n_{\text{aire}} = 1$ ; $n_{\text{vidrio}} = 1,5$

Lámina de caras paralelasÍndice de refracciónDesplazamiento lateral

b) Lámina de vidrio de caras paralelas, espesor

e = 8 \text{ cm} = 0{,}08 \text{ m}

\theta_i = 30^\circ

n_{\text{vidrio}} = 1{,}5

Paso 1: Ángulo de refracción en la primera cara (Ley de Snell)

n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2

1 \cdot \sin 30^\circ = 1{,}5 \cdot \sin\theta_2

\sin\theta_2 = \frac{0{,}5}{1{,}5} = \frac{1}{3} \approx 0{,}3333 \implies \theta_2 \approx 19{,}47^\circ

Paso 2: Tiempo que tarda la luz en atravesar la lámina

La velocidad de la luz en el vidrio es:

v = \frac{c}{n_{\text{vidrio}}} = \frac{3 \times 10^8}{1{,}5} = 2 \times 10^8 \text{ m s}^{-1}

El rayo viaja en el interior del vidrio a lo largo de una trayectoria inclinada. La distancia recorrida dentro del vidrio (trayectoria real del rayo) se obtiene a partir del espesor $e$ y el ángulo de refracción $\theta_2$ :

d = \frac{e}{\cos\theta_2} = \frac{0{,}08}{\cos(19{,}47^\circ)} = \frac{0{,}08}{0{,}9428} \approx 0{,}08485 \text{ m}

El tiempo que tarda la luz en atravesar la lámina es:

t = \frac{d}{v} = \frac{0{,}08485}{2 \times 10^8} \approx 4{,}24 \times 10^{-10} \text{ s}

Paso 3: Desplazamiento horizontal del rayo emergente respecto a la normal en el punto de incidencia

Como las caras son paralelas, el rayo emerge con el mismo ángulo $\theta_i = 30^\circ$ que el incidente, pero lateralmente desplazado. El desplazamiento horizontal (distancia horizontal entre el rayo incidente y el emergente, medida en la segunda cara) es:

\Delta x = e \cdot \tan\theta_2 = 0{,}08 \cdot \tan(19{,}47^\circ) = 0{,}08 \cdot 0{,}3536 \approx 0{,}0283 \text{ m} \approx 2{,}83 \text{ cm}

Este es el desplazamiento horizontal del punto de salida del rayo con respecto a la normal en el punto de incidencia (es decir, la separación horizontal entre la prolongación de la normal y el rayo emergente, medida en la cara inferior de la lámina).

Resultados

Tiempo de tránsito por la lámina:

t \approx 4{,}24 \times 10^{-10} \text{ s}

Desplazamiento horizontal del rayo emergente respecto a la normal:

\Delta x \approx 2{,}83 \text{ cm}