T1: Interacción gravitatoria

Ley de gravitación universal

Teoría

2020 · Ordinaria · Reserva

1-a

a) Considere dos partículas de masas

m

2m

, separadas una distancia

d

, que interaccionan gravitacionalmente entre ellas. i) Realice un esquema con las fuerzas. ii) Determine la relación entre las aceleraciones de las partículas.

GravitaciónAceleración gravitatoriaSegunda Ley de Newton

a) i) Esquema de las fuerzas.

Según la Ley de Gravitación Universal de Newton, las dos partículas se atraen mutuamente con fuerzas de igual módulo y dirección, pero de sentidos opuestos. Sea $m_1 = m$ y $m_2 = 2m$ , separadas una distancia $d$ . La fuerza que $m_2$ ejerce sobre $m_1$ es $\vec{F}_{21}$ y la fuerza que $m_1$ ejerce sobre $m_2$ es $\vec{F}_{12}$ . Por la tercera ley de Newton, se cumple que $\vec{F}_{21} = -\vec{F}_{12}$ y sus módulos son iguales, es decir, $|\vec{F}_{21}| = |\vec{F}_{12}| = F$ . Ambas fuerzas son de atracción, dirigidas una hacia la otra.

a) ii) Determine la relación entre las aceleraciones de las partículas.

El módulo de la fuerza de atracción gravitatoria entre las dos partículas es el mismo para ambas, y viene dado por la Ley de Gravitación Universal:

F = G \frac{m_1 m_2}{d^2} = G \frac{m (2m)}{d^2} = G \frac{2m^2}{d^2}

Aplicamos la Segunda Ley de Newton ( $\vec{F} = m\vec{a}$ ) a cada partícula. Puesto que las fuerzas son de igual módulo, podemos escribir:Para la partícula de masa $m_1 = m$ :

F = m_1 a_1 \Rightarrow F = m a_1

Para la partícula de masa $m_2 = 2m$ :

F = m_2 a_2 \Rightarrow F = (2m) a_2

Como la magnitud de la fuerza $F$ es la misma para ambas partículas, podemos igualar las expresiones obtenidas para $F$ :

m a_1 = (2m) a_2

Despejando la relación entre las aceleraciones, dividiendo ambos lados por $m$ :

a_1 = 2 a_2

Esto significa que la aceleración de la partícula de masa $m$ es el doble que la aceleración de la partícula de masa $2m$ .