T5: Física moderna

Dualidad onda-corpúsculo

Teoría

2022 · Ordinaria · Suplente

D1-a

a) Se tienen dos partículas 1 y 2 con la misma energía cinética. Se sabe, además, que la masa de la partícula 2 es igual a 1836 veces la masa de la partícula 1. Indique cuál de las dos partículas tiene una mayor longitud de onda de De Broglie asociada y explique por qué.

Hipótesis de De BroglieEnergía cinéticaMasa

a) Para determinar cuál de las dos partículas tiene una mayor longitud de onda de De Broglie asociada, debemos partir de la expresión de la longitud de onda de De Broglie y la energía cinética.

La longitud de onda de De Broglie ( $\lambda$ ) se define como:

\lambda = \frac{h}{p}

donde $h$ es la constante de Planck y $p$ es el momento lineal de la partícula. El momento lineal $p$ está relacionado con la energía cinética $E_c$ y la masa $m$ por la expresión:

E_c = \frac{p^2}{2m} \implies p = \sqrt{2mE_c}

Sustituyendo esta expresión de $p$ en la fórmula de De Broglie, obtenemos:

\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE_c}}

Se nos indica que ambas partículas tienen la misma energía cinética, es decir, $E_{c1} = E_{c2} = E_c$ . También se nos dice que la masa de la partícula 2 es 1836 veces la masa de la partícula 1, lo que se expresa como $m_2 = 1836 \cdot m_1$ . Aplicando la fórmula para cada partícula:

\lambda_1 = \frac{h}{\sqrt{2m_1E_c}}

\lambda_2 = \frac{h}{\sqrt{2m_2E_c}} = \frac{h}{\sqrt{2(1836m_1)E_c}} = \frac{h}{\sqrt{1836} \cdot \sqrt{2m_1E_c}}

Podemos observar que:

\lambda_2 = \frac{1}{\sqrt{1836}} \cdot \frac{h}{\sqrt{2m_1E_c}} = \frac{1}{\sqrt{1836}} \lambda_1

Dado que $\sqrt{1836} \approx 42.85$ , tenemos que $\lambda_2 \approx \frac{1}{42.85} \lambda_1$ . Esto significa que $\lambda_2$ es considerablemente menor que $\lambda_1$ .Por lo tanto, la partícula 1 (la de menor masa) tiene una mayor longitud de onda de De Broglie asociada. La razón es que, para una misma energía cinética, la longitud de onda de De Broglie es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la masa de la partícula. Una masa mayor implica un momento lineal mayor para la misma energía cinética, y un momento lineal mayor se traduce en una menor longitud de onda de De Broglie.