T2: Interacción electromagnética

Espectrometría de masas

Problema

2018 · Extraordinaria · Reserva

2A-b

b) Un protón que parte del reposo se acelera mediante una diferencia de potencial de

5 \text{ kV}

. Seguidamente entra en una región del espacio en la que existe un campo magnético uniforme perpendicular a su velocidad. Si el radio de giro descrito por el protón es de

0,05 \text{ m}

, ¿qué valor tendrá el módulo del campo magnético? Calcule el periodo del movimiento.

Datos: $e = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}$ ; $m_p = 1,7 \cdot 10^{-27} \text{ kg}$

campo magnéticoperiododiferencia de potencial+1

b) Cálculo del campo magnético y del periodo del movimiento circular del protón.

Paso 1: Velocidad del protón tras la aceleración

El protón parte del reposo y se acelera con una diferencia de potencial $\Delta V = 5000$ V. Por el teorema trabajo-energía, la energía eléctrica se convierte en energía cinética:

e \cdot \Delta V = \frac{1}{2} m_p v^2

Despejando la velocidad $v$ :

v = \sqrt{\frac{2 \cdot e \cdot \Delta V}{m_p}}

v = \sqrt{\frac{2 \cdot (1{,}6 \cdot 10^{-19}) \cdot 5000}{1{,}7 \cdot 10^{-27}}} = \sqrt{\frac{1{,}6 \cdot 10^{-15}}{1{,}7 \cdot 10^{-27}}} = \sqrt{9{,}41 \cdot 10^{11}}

v \approx 9{,}70 \cdot 10^{5} \text{ m/s}

Paso 2: Diagrama de la situación

Paso 3: Cálculo del campo magnético

Cuando el protón entra en la región del campo magnético, la fuerza de Lorentz actúa como fuerza centrípeta, produciendo un movimiento circular uniforme:

q v B = \frac{m_p v^2}{r}

Despejando $B$ :

B = \frac{m_p \cdot v}{e \cdot r}

B = \frac{(1{,}7 \cdot 10^{-27}) \cdot (9{,}70 \cdot 10^{5})}{(1{,}6 \cdot 10^{-19}) \cdot 0{,}05}

B = \frac{1{,}649 \cdot 10^{-21}}{8{,}0 \cdot 10^{-21}} \approx 0{,}206 \text{ T}

Paso 4: Cálculo del periodo

El periodo del movimiento circular uniforme es el tiempo que tarda el protón en dar una vuelta completa. La circunferencia recorrida es $2\pi r$ a velocidad $v$ :

T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi m_p}{e \cdot B}

T = \frac{2\pi \cdot 0{,}05}{9{,}70 \cdot 10^{5}}

T = \frac{0{,}3142}{9{,}70 \cdot 10^{5}} \approx 3{,}24 \cdot 10^{-7} \text{ s}

Resultados

Módulo del campo magnético:

B \approx 0{,}206

TPeriodo del movimiento circular:

T \approx 3{,}24 \cdot 10^{-7}