T1: Interacción gravitatoria

Dinámica y Energía

Problema

2020 · Extraordinaria · Titular

1-b

Un bloque de $5 \text{ kg}$ de masa desliza, partiendo del reposo, por un plano inclinado que forma un ángulo de $30^\circ$ con la horizontal desde una altura de $10 \text{ m}$ . El coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano es de $0,2$ .

b) i) Represente en un esquema todas las fuerzas que actúan sobre el bloque durante la bajada. ii) Determine el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento en ese desplazamiento. iii) Calcule mediante consideraciones energéticas la velocidad con la que llega a la base del plano inclinado.

Dato: $g = 9,8 \text{ m s}^{-2}$

Plano inclinadoFuerza de rozamientoEnergía mecánica+1

b) i) Represente en un esquema todas las fuerzas que actúan sobre el bloque durante la bajada.

b) ii) Determine el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento en ese desplazamiento.

Primero, calculamos la distancia $d$ que recorre el bloque a lo largo del plano inclinado. La altura $h$ está relacionada con la distancia $d$ por la relación trigonométrica:

h = d \sin\theta

Despejamos $d$ :

d = \frac{h}{\sin\theta} = \frac{10 \text{ m}}{\sin(30^\circ)} = \frac{10 \text{ m}}{0,5} = 20 \text{ m}

A continuación, calculamos la fuerza normal ( $N$ ) que ejerce el plano sobre el bloque. En un plano inclinado, la fuerza normal es igual a la componente perpendicular del peso ( $P_y$ ):

N = P_y = mg \cos\theta

Sustituyendo los valores:

N = (5 \text{ kg})(9,8 \text{ m/s}^2) \cos(30^\circ) = 49 \text{ N} \cdot 0,866 = 42,434 \text{ N}

Ahora, calculamos la fuerza de rozamiento ( $f_r$ ). La fuerza de rozamiento se opone al movimiento y su magnitud es:

f_r = \mu_c N

Sustituyendo los valores:

f_r = (0,2)(42,434 \text{ N}) = 8,487 \text{ N}

El trabajo realizado por la fuerza de rozamiento ( $W_{fr}$ ) es el producto de la fuerza de rozamiento por la distancia recorrida y el coseno del ángulo entre la fuerza y el desplazamiento. Como la fuerza de rozamiento se opone al movimiento, el ángulo es $180^\circ$ y $\cos(180^\circ) = -1$ :

W_{fr} = f_r \cdot d \cos(180^\circ) = -f_r d

Sustituyendo los valores:

W_{fr} = -(8,487 \text{ N})(20 \text{ m}) = -169,74 \text{ J}

b) iii) Calcule mediante consideraciones energéticas la velocidad con la que llega a la base del plano inclinado.

Aplicamos el principio de conservación de la energía, considerando que el trabajo realizado por las fuerzas no conservativas (como el rozamiento) es igual al cambio en la energía mecánica:

W_{nc} = \Delta E_{mec} = (E_{f,mec} - E_{i,mec})

Donde $E_{mec} = E_c + E_p$ . Por lo tanto:

W_{fr} = (\frac{1}{2}mv_f^2 + mgh_f) - (\frac{1}{2}mv_i^2 + mgh_i)

Sabemos que el bloque parte del reposo ( $v_i = 0$ ), la altura final es $h_f = 0$ (en la base del plano) y la altura inicial es $h_i = h = 10 \text{ m}$ . Sustituimos estos valores:

W_{fr} = (\frac{1}{2}mv_f^2 + 0) - (0 + mgh_i)

W_{fr} = \frac{1}{2}mv_f^2 - mgh

Despejamos la velocidad final $v_f$ :

\frac{1}{2}mv_f^2 = mgh + W_{fr}

v_f^2 = \frac{2(mgh + W_{fr})}{m}

v_f = \sqrt{\frac{2(mgh + W_{fr})}{m}}

Ahora sustituimos los valores numéricos:

mgh = (5 \text{ kg})(9,8 \text{ m/s}^2)(10 \text{ m}) = 490 \text{ J}

v_f = \sqrt{\frac{2(490 \text{ J} - 169,74 \text{ J})}{5 \text{ kg}}}

v_f = \sqrt{\frac{2(320,26 \text{ J})}{5 \text{ kg}}}

v_f = \sqrt{\frac{640,52 \text{ J}}{5 \text{ kg}}}

v_f = \sqrt{128,104 \text{ m}^2/\text{s}^2}

v_f = 11,327 \text{ m/s}