T3: Vibraciones y ondas · Ecuación de onda — FISICA PEvAU Andalucía 2019

Ecuación de onda

Problema

2019 · Ordinaria · Suplente

3B-b

b) Si la ecuación de la onda que se propaga por la cuerda es:

y(x,t) = 0,02 \text{ sen } (100\pi t - 40\pi x) \text{ (SI)}

Calcule la longitud de onda, el periodo y la velocidad de propagación. Determine las ecuaciones de la velocidad de vibración y de la aceleración de vibración.

Onda armónicaCinemática de oscilación

b) A partir de la ecuación de la onda armónica transversal,

y(x,t) = A \text{ sen}(\omega t - kx)

, comparamos con la ecuación dada

y(x,t) = 0,02 \text{ sen } (100\pi t - 40\pi x) \text{ (SI)}

, obtenemos los siguientes valores:

Amplitud: $A = 0,02 \text{ m}$ Frecuencia angular: $\omega = 100\pi \text{ rad/s}$ Número de onda: $k = 40\pi \text{ rad/m}$

Cálculo de la longitud de onda ($\lambda$)

La relación entre el número de onda $k$ y la longitud de onda $\lambda$ es:

k = \frac{2\pi}{\lambda}

Despejamos $\lambda$ :

\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{40\pi \text{ rad/m}} = \frac{1}{20} \text{ m} = 0,05 \text{ m}

Cálculo del periodo ($T$)

El periodo $T$ se relaciona con la frecuencia angular $\omega$ mediante la expresión:

\omega = \frac{2\pi}{T}

Despejamos $T$ :

T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{100\pi \text{ rad/s}} = \frac{1}{50} \text{ s} = 0,02 \text{ s}

Cálculo de la velocidad de propagación ($v$)

La velocidad de propagación de la onda se puede calcular como:

v = \frac{\omega}{k}

Sustituyendo los valores:

v = \frac{100\pi \text{ rad/s}}{40\pi \text{ rad/m}} = \frac{100}{40} \text{ m/s} = 2,5 \text{ m/s}

También se puede calcular como $v = \frac{\lambda}{T} = \frac{0,05 \text{ m}}{0,02 \text{ s}} = 2,5 \text{ m/s}$ .

Ecuación de la velocidad de vibración $v_y(x,t)$

La velocidad de vibración de un punto de la cuerda es la derivada parcial de la elongación $y(x,t)$ con respecto al tiempo $t$ :

v_y(x,t) = \frac{\partial y(x,t)}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} [0,02 \text{ sen } (100\pi t - 40\pi x)]

v_y(x,t) = 0,02 \cdot (100\pi) \text{ cos } (100\pi t - 40\pi x)

v_y(x,t) = 2\pi \text{ cos } (100\pi t - 40\pi x) \text{ (SI)}

Ecuación de la aceleración de vibración $a_y(x,t)$

La aceleración de vibración de un punto de la cuerda es la derivada parcial de la velocidad de vibración $v_y(x,t)$ con respecto al tiempo $t$ :

a_y(x,t) = \frac{\partial v_y(x,t)}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} [2\pi \text{ cos } (100\pi t - 40\pi x)]

a_y(x,t) = 2\pi \cdot (-100\pi) \text{ sen } (100\pi t - 40\pi x)

a_y(x,t) = -200\pi^2 \text{ sen } (100\pi t - 40\pi x) \text{ (SI)}