T1: Matrices y determinantes · Operaciones con matrices — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2021

Operaciones con matrices

Problema

2021 · Extraordinaria · Suplente

Se consideran las matrices $A = \begin{pmatrix} a & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}$ y $C = ( 1 \quad 2 )$ .

a) Calcule el valor del parámetro

a

para que la matriz

A

no tenga inversa.b) Para

a = 3

, resuelva la ecuación matricial

X \cdot A - X \cdot B = C

.c) Para

a = 3

, compruebe que

A^2 = 11 \cdot A

y exprese

A^8

en función de la matriz

A

Matriz inversaEcuación matricialPotencias de matrices

a) Calcule el valor del parámetro

a

para que la matriz

A

no tenga inversa.

Una matriz no tiene inversa si su determinante es nulo. Calculamos el determinante de la matriz $A$ :

\det(A) = \det\begin{pmatrix} a & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix} = (a)(8) - (4)(6) = 8a - 24

Igualamos el determinante a cero para encontrar el valor de $a$ :

8a - 24 = 0 \\ 8a = 24 \\ a = \frac{24}{8} \\ a = 3

Por lo tanto, la matriz $A$ no tiene inversa cuando $a = 3$ .

b) Para

a = 3

, resuelva la ecuación matricial

X \cdot A - X \cdot B = C

Primero, sustituimos $a=3$ en la matriz $A$ :

A = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix}

La ecuación matricial es $X \cdot A - X \cdot B = C$ . Podemos factorizar $X$ :

X \cdot (A - B) = C

Definimos la matriz $D = A - B$ y la calculamos:

D = A - B = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3-2 & 4-2 \\ 6-3 & 8-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}

Ahora la ecuación es $X \cdot D = C$ . Para resolver $X$ , necesitamos calcular la inversa de $D$ , $D^{-1}$ .Calculamos el determinante de $D$ :

\det(D) = (1)(5) - (2)(3) = 5 - 6 = -1

Calculamos la inversa de $D$ :

D^{-1} = \frac{1}{\det(D)} \cdot \text{adj}(D)^T = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}

Finalmente, calculamos $X = C \cdot D^{-1}$ :

X = (1 \quad 2) \begin{pmatrix} -5 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}

X = ( (1)(-5) + (2)(3) \quad (1)(2) + (2)(-1) )

X = ( -5+6 \quad 2-2 )

X = ( 1 \quad 0 )

c) Para

a = 3

, compruebe que

A^2 = 11 \cdot A

y exprese

A^8

en función de la matriz

A

Para $a = 3$ , la matriz $A$ es $A = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix}$ . Primero, calculamos $A^2$ :

A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (3)(3) + (4)(6) & (3)(4) + (4)(8) \\ (6)(3) + (8)(6) & (6)(4) + (8)(8) \end{pmatrix}

A^2 = \begin{pmatrix} 9 + 24 & 12 + 32 \\ 18 + 48 & 24 + 64 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 33 & 44 \\ 66 & 88 \end{pmatrix}

Ahora, calculamos $11 \cdot A$ :

11 \cdot A = 11 \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11 \cdot 3 & 11 \cdot 4 \\ 11 \cdot 6 & 11 \cdot 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 33 & 44 \\ 66 & 88 \end{pmatrix}

Comparando los resultados, se comprueba que $A^2 = 11 \cdot A$ .Ahora, expresamos $A^8$ en función de la matriz $A$ utilizando la relación $A^2 = 11A$ :

A^2 = 11A

A^3 = A^2 \cdot A = (11A) \cdot A = 11 A^2 = 11 (11A) = 11^2 A

A^4 = A^3 \cdot A = (11^2 A) \cdot A = 11^2 A^2 = 11^2 (11A) = 11^3 A

Observamos un patrón: $A^n = 11^{n-1} A$ para $n \ge 1$ . Aplicando este patrón para $A^8$ :

A^8 = 11^{8-1} A = 11^7 A