T6: Teoría de muestras · Distribución normal e intervalos de confianza para la media — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2021

Distribución normal e intervalos de confianza para la media

Problema

2021 · Ordinaria · Suplente

El peso de los paquetes de arroz de una marca comercial concreta sigue una ley Normal de media $1000 \text{ g}$ y varianza $256 \text{ g}^2$ .

a) Calcule la probabilidad de que el peso medio de las muestras de tamaño

64

sea menor que

996 \text{ g}

.b) Tras varias denuncias presentadas por falta de peso en los citados paquetes, una organización de consumidores ha procedido a tomar una muestra de

64

paquetes, resultando que la suma de los pesos ha sido de

63\,744 \text{ g}

. Halle un intervalo de confianza al

90 \ \%

para estimar el peso medio real de los paquetes de arroz de esa marca.c) A la vista del intervalo obtenido y teniendo en cuenta que el peso que marca el paquete es de

1000 \text{ g}

, ¿cree que la denuncia tiene base?

Distribución NormalMedia muestralIntervalo de confianza

La variable aleatoria $X$ que representa el peso de los paquetes de arroz sigue una distribución Normal con media $\mu = 1000 \text{ g}$ y varianza $\sigma^2 = 256 \text{ g}^2$ . Por lo tanto, la desviación típica es $\sigma = \sqrt{256} = 16 \text{ g}$ .

a) Calcule la probabilidad de que el peso medio de las muestras de tamaño

64

sea menor que

996 \text{ g}

Para muestras de tamaño $n=64$ , la distribución de la media muestral $\bar{X}$ es también Normal, con media $\mu_{\bar{X}} = \mu = 1000 \text{ g}$ y desviación típica $\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ .

\sigma_{\bar{X}} = \frac{16}{\sqrt{64}} = \frac{16}{8} = 2 \text{ g}

Queremos calcular $P(\bar{X} < 996)$ . Para ello, estandarizamos la variable $\bar{X}$ a la distribución Normal estándar $Z$ :

Z = \frac{\bar{X} - \mu_{\bar{X}}}{\sigma_{\bar{X}}}

P(\bar{X} < 996) = P\left(Z < \frac{996 - 1000}{2}\right) = P\left(Z < \frac{-4}{2}\right) = P(Z < -2)

Usando la tabla de la distribución Normal estándar, sabemos que $P(Z < -2) = P(Z > 2) = 1 - P(Z \le 2)$ . Consultando la tabla, $P(Z \le 2) \approx 0.9772$ .

P(Z < -2) = 1 - 0.9772 = 0.0228

b) Tras varias denuncias presentadas por falta de peso en los citados paquetes, una organización de consumidores ha procedido a tomar una muestra de

64

paquetes, resultando que la suma de los pesos ha sido de

63\,744 \text{ g}

. Halle un intervalo de confianza al

90 \ \%

para estimar el peso medio real de los paquetes de arroz de esa marca.

Datos:- Tamaño de la muestra: $n = 64$ - Suma de los pesos: $\sum x = 63\,744 \text{ g}$ - Desviación típica poblacional: $\sigma = 16 \text{ g}$ (conocida de la parte a))- Nivel de confianza: $90 \ \%$ Primero, calculamos la media muestral $\bar{x}$ :

\bar{x} = \frac{\sum x}{n} = \frac{63\,744}{64} = 996 \text{ g}

Para un nivel de confianza del $90 \ \%$ , el valor crítico $z_{\alpha/2}$ se encuentra buscando el valor de $Z$ tal que el área a su izquierda sea $1 - \alpha/2 = 1 - 0.10/2 = 1 - 0.05 = 0.95$ . Consultando la tabla Normal estándar, el valor $z_{0.05}$ es aproximadamente $1.645$ .La fórmula para el intervalo de confianza de la media poblacional cuando la desviación típica poblacional es conocida es:

\left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)

Calculamos el margen de error $E$ :

E = z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.645 \cdot \frac{16}{\sqrt{64}} = 1.645 \cdot \frac{16}{8} = 1.645 \cdot 2 = 3.29

Ahora construimos el intervalo de confianza:

(996 - 3.29, 996 + 3.29) = (992.71, 999.29)

El intervalo de confianza del $90 \ \%$ para el peso medio real de los paquetes de arroz es $(992.71, 999.29) \text{ g}$ .

c) A la vista del intervalo obtenido y teniendo en cuenta que el peso que marca el paquete es de

1000 \text{ g}

, ¿cree que la denuncia tiene base?

El intervalo de confianza del $90 \ \%$ para el peso medio real es $(992.71, 999.29) \text{ g}$ . El peso que marca el paquete es de $1000 \text{ g}$ .Dado que el valor $1000 \text{ g}$ no se encuentra dentro de este intervalo de confianza, hay evidencia estadística al nivel de confianza del $90 \ \%$ para sospechar que el peso medio real de los paquetes es inferior a $1000 \text{ g}$ . Por lo tanto, la denuncia tiene base.