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T4: Óptica
Lentes delgadas
Problema
2022 · Ordinaria · Titular
C2-b
Examen

Un objeto de 30 cm30\text{ cm} de altura se coloca a 2 m2\text{ m} de distancia de una lente delgada divergente. La distancia focal de la lente es de 50 cm50\text{ cm}.

b) Indicando el criterio de signos aplicado, calcule la posición y el tamaño de la imagen formada. Realice razonadamente el trazado de rayos y justifique la naturaleza de la imagen.
Lentes divergentesEcuación de la lenteAumento lateral+1
b) Criterio de signos aplicado, cálculo de la posición y el tamaño de la imagen.

Se aplicará el criterio de signos cartesiano (o DIN), donde la luz incide de izquierda a derecha. Las distancias medidas en el sentido de la luz son positivas y en sentido contrario son negativas. Las alturas medidas por encima del eje óptico son positivas y por debajo son negativas. Para una lente divergente, la distancia focal (f′f') es negativa.Datos:- Altura del objeto: h=30 cmh = 30\text{ cm} - Posición del objeto: s=−2 m=−200 cms = -2\text{ m} = -200\text{ cm} (El objeto se coloca a la izquierda de la lente)- Distancia focal de la lente divergente: f′=−50 cmf' = -50\text{ cm} Para calcular la posición de la imagen (s′s'), utilizamos la ecuación de la lente delgada:

1s′−1s=1f′\frac{1}{s'} - \frac{1}{s} = \frac{1}{f'}
1s′=1s+1f′\frac{1}{s'} = \frac{1}{s} + \frac{1}{f'}
1s′=1−200 cm+1−50 cm\frac{1}{s'} = \frac{1}{-200\text{ cm}} + \frac{1}{-50\text{ cm}}
1s′=−1200 cm−4200 cm\frac{1}{s'} = -\frac{1}{200\text{ cm}} - \frac{4}{200\text{ cm}}
1s′=−5200 cm\frac{1}{s'} = -\frac{5}{200\text{ cm}}
s′=−2005 cm=−40 cms' = -\frac{200}{5}\text{ cm} = -40\text{ cm}

La posición de la imagen es s′=−40 cms' = -40\text{ cm}. El signo negativo indica que la imagen se forma en el mismo lado que el objeto (a la izquierda de la lente).Para calcular el tamaño de la imagen (h′h'), utilizamos la ecuación de aumento lateral:

M=h′h=s′sM = \frac{h'}{h} = \frac{s'}{s}
h′=h⋅s′sh' = h \cdot \frac{s'}{s}
h′=30 cm⋅−40 cm−200 cmh' = 30\text{ cm} \cdot \frac{-40\text{ cm}}{-200\text{ cm}}
h′=30 cm⋅15h' = 30\text{ cm} \cdot \frac{1}{5}
h′=6 cmh' = 6\text{ cm}

El tamaño de la imagen es h′=6 cmh' = 6\text{ cm}. El signo positivo indica que la imagen es derecha (no invertida).Trazado de rayos:

FF'ObjetoLente divergente

El trazado de rayos se realiza siguiendo tres rayos principales:1. Un rayo paralelo al eje óptico que, tras refractarse en la lente divergente, se desvía de tal manera que su prolongación pasa por el foco imagen F′F' (el foco del lado del objeto, en este caso a -50 cm).2. Un rayo que se dirige hacia el centro óptico de la lente, atraviesa la lente sin desviarse.3. Un rayo que se dirige hacia el foco objeto FF (el foco del lado opuesto al objeto, en este caso a +50 cm), tras refractarse en la lente, emerge paralelo al eje óptico.La intersección de las prolongaciones de los rayos refractados (o de los propios rayos si la imagen fuera real) determina la posición y el tamaño de la imagen.Justificación de la naturaleza de la imagen:La imagen es:- Virtual: Porque s′s' es negativo, lo que significa que la imagen se forma en el mismo lado de la lente que el objeto y se obtiene por la intersección de las prolongaciones de los rayos refractados, no por los rayos reales.- Derecha (o no invertida): Porque h′h' es positivo, lo que indica que la imagen tiene la misma orientación que el objeto.- Menor (o disminuida): Porque ∣h′∣=6 cm|h'| = 6\text{ cm} es menor que ∣h∣=30 cm|h| = 30\text{ cm}, o porque el aumento lateral M=0.2M = 0.2 es menor que 1.