T2: Sistemas de ecuaciones lineales

Discusión de sistemas

Problema

2020 · Ordinaria · Reserva

Siendo $\lambda$ un número real, considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas

\begin{cases} x + \lambda y = 2 \\ 2x + 4y = 1 \\ \lambda x + y = 2\lambda \end{cases}

Discútelo según los valores de $\lambda$ y resuélvelo cuando sea posible.

Sistemas de ecuacionesDiscusión de sistemasTeorema de Rouché-Frobenius

Consideramos el sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Para discutir el sistema, analizaremos el rango de la matriz de coeficientes (A) y el rango de la matriz ampliada (A*).

A = \begin{pmatrix} 1 & \lambda \\ 2 & 4 \\ \lambda & 1 \end{pmatrix}, \quad A^* = \begin{pmatrix} 1 & \lambda & 2 \\ 2 & 4 & 1 \\ \lambda & 1 & 2\lambda \end{pmatrix}

El número de incógnitas es $n=2$ . Para que el sistema sea compatible, es necesario que el rango de A sea igual al rango de A. Si $\text{rango}(A^) = 3 $, el sistema será incompatible, ya que$ \text{rango}(A) \le 2$.Calculamos el determinante de la matriz ampliada A*:

\det(A^*) = \begin{vmatrix} 1 & \lambda & 2 \\ 2 & 4 & 1 \\ \lambda & 1 & 2\lambda \end{vmatrix} = 1(4 \cdot 2\lambda - 1 \cdot 1) - \lambda(2 \cdot 2\lambda - 1 \cdot \lambda) + 2(2 \cdot 1 - 4 \cdot \lambda)

\det(A^*) = (8\lambda - 1) - \lambda(4\lambda - \lambda) + 2(2 - 4\lambda)

\det(A^*) = 8\lambda - 1 - 3\lambda^2 + 4 - 8\lambda

\det(A^*) = -3\lambda^2 + 3

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores de $\lambda$ donde el rango de A* podría ser menor que 3:

-3\lambda^2 + 3 = 0 \implies -3(\lambda^2 - 1) = 0 \implies \lambda^2 - 1 = 0 \implies (\lambda - 1)(\lambda + 1) = 0

De aquí obtenemos $\lambda = 1$ o $\lambda = -1$ .

Discusión del sistema

Caso 1: Si

\lambda \neq 1

\lambda \neq -1

En este caso, $\det(A^*) \neq 0$ , lo que implica que $\text{rango}(A^*) = 3$ . Sin embargo, $\text{rango}(A) \le 2$ (ya que A tiene 2 columnas). Como $\text{rango}(A) \neq \text{rango}(A^*)$ , el sistema es incompatible (no tiene solución).

Caso 2: Si

\lambda = 1

El sistema se convierte en:

\begin{cases} x + y = 2 \\ 2x + 4y = 1 \\ x + y = 2 \end{cases}

Las ecuaciones primera y tercera son idénticas, por lo que el sistema se reduce a:

\begin{cases} x + y = 2 \\ 2x + 4y = 1 \end{cases}

En este caso, la matriz A y la matriz ampliada A* son:

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 4 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad A^* = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}

Para $\lambda = 1$ , sabemos que $\det(A^*) = 0$ , así que $\text{rango}(A^*) \le 2$ . Calculamos el rango de A. Consideramos el menor de A formado por las dos primeras filas:

\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 - 1 \cdot 2 = 4 - 2 = 2 \neq 0

Dado que existe un menor de orden 2 no nulo, $\text{rango}(A) = 2$ . Como $\text{rango}(A) = 2$ y $\text{rango}(A^*) \le 2$ , se concluye que $\text{rango}(A^*) = 2$ . El rango de ambas matrices es 2, que es igual al número de incógnitas. Por lo tanto, el sistema es compatible determinado (tiene una única solución).

Resolución para $\lambda = 1$

Resolvemos el sistema reducido:

\begin{cases} x + y = 2 \quad (1) \\ 2x + 4y = 1 \quad (2) \end{cases}

De (1), despejamos $x = 2 - y$ . Sustituimos en (2):

2(2 - y) + 4y = 1 \implies 4 - 2y + 4y = 1 \implies 2y = -3 \implies y = -\frac{3}{2}

Sustituimos el valor de $y$ en la ecuación para $x$ :

x = 2 - \left(-\frac{3}{2}\right) = 2 + \frac{3}{2} = \frac{4}{2} + \frac{3}{2} = \frac{7}{2}

La solución para $\lambda = 1$ es $x = \frac{7}{2}$ , $y = -\frac{3}{2}$ .

Caso 3: Si

\lambda = -1

El sistema se convierte en:

\begin{cases} x - y = 2 \\ 2x + 4y = 1 \\ -x + y = -2 \end{cases}

Las ecuaciones primera y tercera son equivalentes (multiplicando la primera por -1 o la tercera por -1 obtenemos la otra), por lo que el sistema se reduce a:

\begin{cases} x - y = 2 \\ 2x + 4y = 1 \end{cases}

En este caso, la matriz A y la matriz ampliada A* son:

A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 4 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}, \quad A^* = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 2 & 4 & 1 \\ -1 & 1 & -2 \end{pmatrix}

Para $\lambda = -1$ , sabemos que $\det(A^*) = 0$ , así que $\text{rango}(A^*) \le 2$ . Calculamos el rango de A. Consideramos el menor de A formado por las dos primeras filas:

\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 - (-1) \cdot 2 = 4 + 2 = 6 \neq 0

Resolución para $\lambda = -1$

Resolvemos el sistema reducido:

\begin{cases} x - y = 2 \quad (1) \\ 2x + 4y = 1 \quad (2) \end{cases}

De (1), despejamos $x = 2 + y$ . Sustituimos en (2):

2(2 + y) + 4y = 1 \implies 4 + 2y + 4y = 1 \implies 6y = -3 \implies y = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}

Sustituimos el valor de $y$ en la ecuación para $x$ :

x = 2 + \left(-\frac{1}{2}\right) = 2 - \frac{1}{2} = \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}

La solución para $\lambda = -1$ es $x = \frac{3}{2}$ , $y = -\frac{1}{2}$ .