T5: Probabilidad · Propiedades de la probabilidad — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2022

Propiedades de la probabilidad

Problema

2022 · Ordinaria · Suplente

Una encuesta realizada a los clientes de un banco muestra que el $60\%$ de sus clientes tiene un ordenador, el $50\%$ tiene una tablet y el $20\%$ posee un ordenador y una tablet. Se elige al azar un cliente de ese banco.

a) Calcule la probabilidad de que: i) Tenga un ordenador o una tablet. ii) No tenga tablet si no tiene ordenador. iii) Tenga ordenador y no tenga tablet.b) ¿Son los sucesos “Tener un ordenador” y “Tener una tablet” incompatibles? ¿Son sucesos independientes?

ProbabilidadSucesos independientesSucesos incompatibles

Sean los siguientes sucesos: $O$ : El cliente tiene un ordenador. $T$ : El cliente tiene una tablet.Las probabilidades dadas son: $P(O) = 0.60$ $P(T) = 0.50$ $P(O \cap T) = 0.20$

a) Calcule la probabilidad de que:i) Tenga un ordenador o una tablet.

Se pide calcular $P(O \cup T)$ . Aplicamos la fórmula de la probabilidad de la unión de sucesos:

P(O \cup T) = P(O) + P(T) - P(O \cap T)

P(O \cup T) = 0.60 + 0.50 - 0.20 = 0.90

ii) No tenga tablet si no tiene ordenador.

Se pide calcular la probabilidad condicional $P(T^c | O^c)$ . Aplicamos la definición de probabilidad condicional:

P(T^c | O^c) = \frac{P(T^c \cap O^c)}{P(O^c)}

Primero, calculamos $P(O^c)$ :

P(O^c) = 1 - P(O) = 1 - 0.60 = 0.40

Luego, calculamos $P(T^c \cap O^c)$ . Por las leyes de De Morgan, sabemos que $T^c \cap O^c = (T \cup O)^c$ . Por lo tanto:

P(T^c \cap O^c) = P((T \cup O)^c) = 1 - P(T \cup O)

Usando el resultado del apartado a) i), $P(T \cup O) = 0.90$ :

P(T^c \cap O^c) = 1 - 0.90 = 0.10

Ahora, sustituimos estos valores en la fórmula de la probabilidad condicional:

P(T^c | O^c) = \frac{0.10}{0.40} = 0.25

iii) Tenga ordenador y no tenga tablet.

Se pide calcular $P(O \cap T^c)$ . Esto se puede expresar como $P(O) - P(O \cap T)$ :

P(O \cap T^c) = P(O) - P(O \cap T)

P(O \cap T^c) = 0.60 - 0.20 = 0.40

b) ¿Son los sucesos “Tener un ordenador” y “Tener una tablet” incompatibles? ¿Son sucesos independientes?

Para que dos sucesos $A$ y $B$ sean incompatibles (o mutuamente excluyentes), su intersección debe ser un conjunto vacío, lo que implica que $P(A \cap B) = 0$ .En este caso, $P(O \cap T) = 0.20$ . Dado que $0.20 \neq 0$ , los sucesos “Tener un ordenador” y “Tener una tablet” NO son incompatibles.Para que dos sucesos $A$ y $B$ sean independientes, debe cumplirse que $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ .Calculamos el producto de las probabilidades individuales:

P(O) \cdot P(T) = 0.60 \cdot 0.50 = 0.30

Comparamos este valor con $P(O \cap T)$ :

P(O \cap T) = 0.20

Dado que $P(O \cap T) = 0.20 \neq P(O) \cdot P(T) = 0.30$ , los sucesos “Tener un ordenador” y “Tener una tablet” NO son independientes.