T4: Funciones · Cálculo de parámetros en límites — MATEMATICAS II PEvAU Andalucía 2022

Cálculo de parámetros en límites

Problema

2022 · Extraordinaria · Reserva

Calcula $a$ y $b$ sabiendo que:

\lim_{x \to 0} \frac{a \operatorname{sen}(x) + x \ln(x + 1) + bx^2}{x^3 + x^2} = 2

(donde $\ln$ denota la función logaritmo neperiano).

LímitesRegla de L'HôpitalParámetros

Cálculo de parámetros en un límite

Se nos pide calcular los valores de $a$ y $b$ para que el siguiente límite sea igual a 2:

\lim_{x \to 0} \frac{a \operatorname{sen}(x) + x \ln(x + 1) + bx^2}{x^3 + x^2} = 2

Primero, observamos el denominador $D(x) = x^3 + x^2 = x^2(x+1)$ . Cuando $x \to 0$ , el denominador tiende a 0. Para que el límite sea un valor finito (en este caso, 2), el numerador $N(x) = a \operatorname{sen}(x) + x \ln(x + 1) + bx^2$ también debe tender a 0 cuando $x \to 0$ . Esto es cierto, ya que $\operatorname{sen}(0) = 0$ y $\ln(1) = 0$ . Por lo tanto, tenemos una indeterminación de tipo $\frac{0}{0}$ . Para resolverla, utilizaremos desarrollos de Taylor de las funciones alrededor de $x=0$ .Los desarrollos de Taylor de las funciones involucradas hasta el orden necesario son:

\operatorname{sen}(x) = x - \frac{x^3}{3!} + O(x^5) = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)

\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + O(x^4)

Sustituimos estos desarrollos en el numerador:

N(x) = a\left(x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)\right) + x\left(x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + O(x^4)\right) + bx^2

Expandiendo y agrupando términos por potencias de $x$ :

N(x) = ax - \frac{a}{6}x^3 + O(x^5) + x^2 - \frac{x^3}{2} + \frac{x^4}{3} + O(x^5) + bx^2

N(x) = ax + (1+b)x^2 + \left(-\frac{a}{6} - \frac{1}{2}\right)x^3 + O(x^4)

El denominador es $D(x) = x^2 + x^3$ . Ahora, sustituimos en el límite:

\lim_{x \to 0} \frac{ax + (1+b)x^2 + \left(-\frac{a}{6} - \frac{1}{2}\right)x^3 + O(x^4)}{x^2 + x^3}

Para que el límite sea finito y no nulo, la potencia más baja de $x$ en el numerador debe ser al menos igual a la potencia más baja de $x$ en el denominador. La potencia más baja en el denominador es $x^2$ . Por lo tanto, el coeficiente de $x$ en el numerador debe ser cero:

a = 0

Sustituyendo $a=0$ en el numerador:

N(x) = (1+b)x^2 + \left(-\frac{0}{6} - \frac{1}{2}\right)x^3 + O(x^4) = (1+b)x^2 - \frac{1}{2}x^3 + O(x^4)

Ahora el límite se convierte en:

\lim_{x \to 0} \frac{(1+b)x^2 - \frac{1}{2}x^3 + O(x^4)}{x^2 + x^3}

Factorizamos $x^2$ en el numerador y el denominador:

\lim_{x \to 0} \frac{x^2\left( (1+b) - \frac{1}{2}x + O(x^2) \right)}{x^2(1 + x)}

\lim_{x \to 0} \frac{(1+b) - \frac{1}{2}x + O(x^2)}{1 + x}

Ahora podemos sustituir $x=0$ sin indeterminación:

\frac{(1+b) - 0 + 0}{1 + 0} = 1+b

Dado que el límite debe ser igual a 2:

1+b = 2

b = 1

Por lo tanto, los valores de $a$ y $b$ son:

a = 0, \quad b = 1