T2: Interacción electromagnética

Inducción electromagnética

Problema

2017 · Ordinaria · Titular

2A-b

b) Una bobina, de

10

espiras circulares de

15 \text{ cm}

de radio, está situada en una región en la que existe un campo magnético uniforme cuya intensidad varía con el tiempo según:

B = 2 \cos (2 \pi t - \pi / 4) \text{ T}

y cuya dirección forma un ángulo de

30^\circ

con el eje de la bobina. La resistencia de la bobina es

0,2 \Omega

. Calcule el flujo del campo magnético a través de la bobina en función del tiempo y la intensidad de corriente que circula por ella en el instante

t = 3 \text{ s}

Ley de FaradayFlujo magnéticoCorriente inducida

b) Cálculo del flujo magnético y la corriente inducida.

Datos del problema

Número de espiras: $N = 10$ Radio de cada espira: $r = 15 \text{ cm} = 0{,}15 \text{ m}$ Campo magnético: $B = 2\cos\left(2\pi t - \dfrac{\pi}{4}\right) \text{ T}$ Ángulo entre $\vec{B}$ y el eje de la bobina: $\alpha = 30^\circ$ Resistencia de la bobina: $R = 0{,}2 \text{ } \Omega$

Área de cada espira

A = \pi r^2 = \pi \cdot (0{,}15)^2 = \pi \cdot 0{,}0225 \approx 0{,}07069 \text{ m}^2

Flujo magnético a través de la bobina

El flujo a través de una espira es $\Phi_1 = B \cdot A \cdot \cos\alpha$ , donde $\alpha = 30^\circ$ es el ángulo entre $\vec{B}$ y el eje de la bobina (es decir, entre $\vec{B}$ y la normal a la superficie). El flujo total a través de las $N$ espiras es:

\Phi_{\text{total}} = N \cdot B \cdot A \cdot \cos 30^\circ

Sustituyendo valores:

\Phi_{\text{total}} = 10 \cdot 2\cos\!\left(2\pi t - \frac{\pi}{4}\right) \cdot 0{,}07069 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}

\Phi_{\text{total}} = 10 \cdot 2 \cdot 0{,}07069 \cdot 0{,}8660 \cdot \cos\!\left(2\pi t - \frac{\pi}{4}\right)

\Phi_{\text{total}} = 1{,}224 \cdot \cos\!\left(2\pi t - \frac{\pi}{4}\right) \text{ Wb}

FEM inducida (Ley de Faraday)

\varepsilon = -\frac{d\Phi_{\text{total}}}{dt}

Derivando el flujo respecto al tiempo:

\varepsilon = -\frac{d}{dt}\left[1{,}224 \cdot \cos\!\left(2\pi t - \frac{\pi}{4}\right)\right] = 1{,}224 \cdot 2\pi \cdot \sin\!\left(2\pi t - \frac{\pi}{4}\right)

\varepsilon = 7{,}693 \cdot \sin\!\left(2\pi t - \frac{\pi}{4}\right) \text{ V}

Intensidad de corriente en $t = 3 \text{ s}$

La intensidad de corriente se obtiene mediante la Ley de Ohm: $I = \varepsilon / R$ . Primero calculamos la FEM en $t = 3$ s:

\varepsilon(3) = 7{,}693 \cdot \sin\!\left(2\pi \cdot 3 - \frac{\pi}{4}\right) = 7{,}693 \cdot \sin\!\left(6\pi - \frac{\pi}{4}\right)

Como $\sin(6\pi - \pi/4) = \sin(-\pi/4) = -\sin(\pi/4) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \approx -0{,}7071$ :

\varepsilon(3) = 7{,}693 \cdot (-0{,}7071) \approx -5{,}441 \text{ V}

La intensidad de corriente en $t = 3$ s es:

I = \frac{|\varepsilon|}{R} = \frac{5{,}441}{0{,}2} \approx 27{,}2 \text{ A}

Resumen de resultados

Flujo magnético total en función del tiempo:

\Phi(t) = 1{,}224 \cdot \cos\!\left(2\pi t - \frac{\pi}{4}\right) \text{ Wb}

Intensidad de corriente en $t = 3$ s:

I(t=3\text{ s}) \approx 27{,}2 \text{ A}