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T1: Interacción gravitatoria
Campo gravitatorio y trabajo
Problema
2024 · Ordinaria · Suplente
A1-b
Examen

Dos masas puntuales de 10 y 5 kg están situadas en los puntos A(0,3) m y B(4,0) m, respectivamente.

i) Realice un esquema del campo gravitatorio producido por cada una de las masas en el punto C(4,3) m y calcule su valor en dicho punto.ii) Determine el trabajo necesario para desplazar una tercera masa de 4 kg desde el punto C hasta el punto O(0,0) m. Discuta el signo del trabajo.

Dato: G=6,67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}

Campo gravitatorioTrabajo gravitatorioMasas puntuales
i) Realice un esquema del campo gravitatorio producido por cada una de las masas en el punto C(4,3) mC(4,3) \text{ m} y calcule su valor en dicho punto.

El campo gravitatorio resultante en el punto CC es la suma vectorial de los campos creados por las masas mA=10 kgm_A = 10 \text{ kg} y mB=5 kgm_B = 5 \text{ kg}. Primero determinamos los vectores distancia desde cada masa hasta el punto CC:

r⃗AC=(4−0)i⃗+(3−3)j⃗=4i⃗ m  ⟹  rAC=4 m\vec{r}_{AC} = (4-0) \vec{i} + (3-3) \vec{j} = 4 \vec{i} \text{ m} \implies r_{AC} = 4 \text{ m}
r⃗BC=(4−4)i⃗+(3−0)j⃗=3j⃗ m  ⟹  rBC=3 m\vec{r}_{BC} = (4-4) \vec{i} + (3-0) \vec{j} = 3 \vec{j} \text{ m} \implies r_{BC} = 3 \text{ m}
XYmm_Amm_BCg1g2g_neta

Aplicamos el principio de superposición para el campo gravitatorio g⃗=−GMr2u⃗r\vec{g} = -G \frac{M}{r^2} \vec{u}_r:

g⃗A=−GmArAC2i⃗=−6.67⋅10−111042i⃗=−4.17⋅10−11i⃗ N⋅kg−1\vec{g}_A = -G \frac{m_A}{r_{AC}^2} \vec{i} = -6.67 \cdot 10^{-11} \frac{10}{4^2} \vec{i} = -4.17 \cdot 10^{-11} \vec{i} \text{ N} \cdot \text{kg}^{-1}
g⃗B=−GmBrBC2j⃗=−6.67⋅10−11532j⃗=−3.71⋅10−11j⃗ N⋅kg−1\vec{g}_B = -G \frac{m_B}{r_{BC}^2} \vec{j} = -6.67 \cdot 10^{-11} \frac{5}{3^2} \vec{j} = -3.71 \cdot 10^{-11} \vec{j} \text{ N} \cdot \text{kg}^{-1}
g⃗C=g⃗A+g⃗B=(−4.17i⃗−3.71j⃗)⋅10−11 N⋅kg−1\vec{g}_C = \vec{g}_A + \vec{g}_B = (-4.17 \vec{i} - 3.71 \vec{j}) \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{kg}^{-1}
ii) Determine el trabajo necesario para desplazar una tercera masa de 4 kg4 \text{ kg} desde el punto CC hasta el punto O(0,0) mO(0,0) \text{ m}. Discuta el signo del trabajo.

El trabajo realizado por el campo gravitatorio (WcampoW_{campo}) se define como el valor negativo de la variación de la energía potencial. Para una masa m3=4 kgm_3 = 4 \text{ kg}:

WC→O=−ΔEp=−(m3VO−m3VC)=m3(VC−VO)W_{C \to O} = - \Delta E_p = -(m_3 V_O - m_3 V_C) = m_3 (V_C - V_O)

Calculamos el potencial gravitatorio en CC y en OO, considerando las distancias rAO=3 mr_{AO} = 3 \text{ m} y rBO=4 mr_{BO} = 4 \text{ m}:

VC=−G(mArAC+mBrBC)=−G(104+53)=−4.167G J⋅kg−1V_C = -G \left( \frac{m_A}{r_{AC}} + \frac{m_B}{r_{BC}} \right) = -G \left( \frac{10}{4} + \frac{5}{3} \right) = -4.167 G \text{ J} \cdot \text{kg}^{-1}
VO=−G(mArAO+mBrBO)=−G(103+54)=−4.583G J⋅kg−1V_O = -G \left( \frac{m_A}{r_{AO}} + \frac{m_B}{r_{BO}} \right) = -G \left( \frac{10}{3} + \frac{5}{4} \right) = -4.583 G \text{ J} \cdot \text{kg}^{-1}

Sustituyendo los valores de los potenciales y la constante GG:

Wcampo=4⋅(−4.167G−(−4.583G))=4⋅(0.416G)=1.664⋅6.67⋅10−11=1.11⋅10−10 JW_{campo} = 4 \cdot (-4.167 G - (-4.583 G)) = 4 \cdot (0.416 G) = 1.664 \cdot 6.67 \cdot 10^{-11} = 1.11 \cdot 10^{-10} \text{ J}

El signo del trabajo realizado por el campo es positivo (Wcampo>0W_{campo} > 0), lo que indica que las fuerzas del campo realizan el desplazamiento de forma espontánea, ya que la masa se mueve hacia un punto de menor energía potencial gravitatoria (VO<VCV_O < V_C). El trabajo necesario o externo realizado por un agente contra el campo sería Wext=ΔEp=−1.11⋅10−10 JW_{ext} = \Delta E_p = -1.11 \cdot 10^{-10} \text{ J}.