T5: Integrales · Cálculo de integrales indefinidas — MATEMATICAS II PEvAU Andalucía 2020

Cálculo de integrales indefinidas

Problema

2020 · Ordinaria · Reserva

Calcula $\int \ln(x^2 + 2x + 2) dx$ donde $\ln$ denota la función logaritmo neperiano.(Sugerencia: efectúa el cambio de variable $t = x + 1$ ).

IntegralesCambio de variableLogaritmos

Para resolver la integral $\int \ln(x^2 + 2x + 2) dx$ , aplicamos el cambio de variable sugerido.

a) Cambio de variable

Sea $t = x + 1$ . Entonces, $dt = dx$ . También, podemos expresar $x$ en términos de $t$ como $x = t - 1$ .Sustituimos $x$ en el argumento del logaritmo:

(x+1)^2 + 1 = t^2 + 1

Por lo tanto, la integral se transforma en:

\int \ln(x^2 + 2x + 2) dx = \int \ln((x+1)^2 + 1) dx = \int \ln(t^2 + 1) dt

b) Resolución de la integral por partes

Ahora resolvemos $\int \ln(t^2 + 1) dt$ usando la integración por partes, que se define como $\int u dv = uv - \int v du$ .Elegimos:

u = \ln(t^2 + 1) \implies du = \frac{2t}{t^2 + 1} dt

dv = dt \implies v = t

Aplicando la fórmula de integración por partes:

\int \ln(t^2 + 1) dt = t \ln(t^2 + 1) - \int t \cdot \frac{2t}{t^2 + 1} dt

= t \ln(t^2 + 1) - \int \frac{2t^2}{t^2 + 1} dt

Para resolver la integral restante $\int \frac{2t^2}{t^2 + 1} dt$ , podemos reescribir el numerador:

\frac{2t^2}{t^2 + 1} = \frac{2(t^2 + 1) - 2}{t^2 + 1} = 2 - \frac{2}{t^2 + 1}

Entonces, la integral se convierte en:

\int \left(2 - \frac{2}{t^2 + 1}\right) dt = 2t - 2 \arctan(t) + C_1

Sustituyendo esto de nuevo en la expresión de la integración por partes:

\int \ln(t^2 + 1) dt = t \ln(t^2 + 1) - (2t - 2 \arctan(t)) + C

= t \ln(t^2 + 1) - 2t + 2 \arctan(t) + C

c) Sustitución inversa

Finalmente, sustituimos $t = x + 1$ de vuelta en la expresión obtenida:

\int \ln(x^2 + 2x + 2) dx = (x+1) \ln((x+1)^2 + 1) - 2(x+1) + 2 \arctan(x+1) + C

Simplificando el término del logaritmo:

(x+1)^2 + 1 = x^2 + 2x + 1 + 1 = x^2 + 2x + 2

Por lo tanto, la solución final es:

(x+1) \ln(x^2 + 2x + 2) - 2(x+1) + 2 \arctan(x+1) + C