T5: Integrales · Teorema fundamental del cálculo — MATEMATICAS II PEvAU Andalucía 2021

Teorema fundamental del cálculo

Problema

2021 · Ordinaria · Titular

Considera la función $F : [0, +\infty) \to \mathbb{R}$ definida por

F(x) = \int_{0}^{x} (2t + \sqrt{t}) \, dt

Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $F$ en el punto de abscisa $x = 1$ .

Teorema fundamental del cálculoRecta tangenteFunción integral

Para hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $F$ en el punto de abscisa $x = 1$ , necesitamos el punto de tangencia $(1, F(1))$ y la pendiente de la recta tangente, que es $F'(1)$ .

1. Cálculo de

F(1)

F(1) = \int_{0}^{1} (2t + \sqrt{t}) \, dt

F(1) = \int_{0}^{1} (2t + t^{1/2}) \, dt

F(1) = \left[ t^2 + \frac{t^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{1}

F(1) = \left[ t^2 + \frac{2}{3}t^{3/2} \right]_{0}^{1}

F(1) = \left( 1^2 + \frac{2}{3}(1)^{3/2} \right) - \left( 0^2 + \frac{2}{3}(0)^{3/2} \right)

F(1) = 1 + \frac{2}{3} - 0

F(1) = \frac{3}{3} + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}

El punto de tangencia es $\left(1, \frac{5}{3}\right)$ .

2. Cálculo de

F'(x)

F'(1)

Por el Teorema Fundamental del Cálculo, si $F(x) = \int_{a}^{x} f(t) \, dt$ , entonces $F'(x) = f(x)$ . En este caso, $f(t) = 2t + \sqrt{t}$ .

F'(x) = 2x + \sqrt{x}

Ahora evaluamos $F'(x)$ en $x=1$ para obtener la pendiente:

F'(1) = 2(1) + \sqrt{1}

F'(1) = 2 + 1 = 3

La pendiente de la recta tangente es $m = 3$ .

3. Ecuación de la recta tangente:

La ecuación de la recta tangente tiene la forma $y - y_0 = m(x - x_0)$ , donde $(x_0, y_0) = \left(1, \frac{5}{3}\right)$ y $m = 3$ .

y - \frac{5}{3} = 3(x - 1)

y - \frac{5}{3} = 3x - 3

y = 3x - 3 + \frac{5}{3}

y = 3x - \frac{9}{3} + \frac{5}{3}

y = 3x - \frac{4}{3}

La ecuación de la recta tangente a la gráfica de $F$ en el punto de abscisa $x = 1$ es $y = 3x - \frac{4}{3}$ .