T1: Interacción gravitatoria

Velocidad de escape

Teoría

2021 · Extraordinaria · Titular

A1-a

a) Razone si la siguiente afirmación es verdadera o falsa: “Si un planeta tiene el doble de masa y la mitad del radio que otro planeta, su velocidad de escape será el doble”.

Velocidad de escapeGravitación universal

a) La afirmación es verdadera.

La velocidad de escape $v_e$ de un planeta se define como la mínima velocidad que un objeto debe alcanzar para "escapar" del campo gravitatorio del planeta sin la necesidad de un impulso adicional. Se calcula mediante la siguiente expresión:

v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}

donde $G$ es la constante de gravitación universal, $M$ es la masa del planeta y $R$ es su radio.Consideremos un planeta inicial con masa $M_1$ y radio $R_1$ , cuya velocidad de escape es:

v_{e1} = \sqrt{\frac{2GM_1}{R_1}}

Ahora, consideremos un segundo planeta con el doble de masa y la mitad del radio, es decir, $M_2 = 2M_1$ y $R_2 = \frac{R_1}{2}$ . Su velocidad de escape $v_{e2}$ será:

v_{e2} = \sqrt{\frac{2GM_2}{R_2}} = \sqrt{\frac{2G(2M_1)}{R_1/2}}

Simplificando la expresión:

v_{e2} = \sqrt{\frac{4GM_1}{R_1/2}} = \sqrt{\frac{8GM_1}{R_1}}

Podemos reescribir esta expresión como:

v_{e2} = \sqrt{4 \left( \frac{2GM_1}{R_1} \right)} = \sqrt{4} \sqrt{\frac{2GM_1}{R_1}} = 2 \sqrt{\frac{2GM_1}{R_1}}

Comparando con la velocidad de escape del primer planeta $v_{e1}$ , obtenemos:

v_{e2} = 2v_{e1}

Por lo tanto, la velocidad de escape del segundo planeta es el doble que la del primer planeta. La afirmación es verdadera.