T4: Funciones · Límites — MATEMATICAS II PEvAU Andalucía 2023

Límites

Problema

2023 · Ordinaria · Reserva

Sabiendo que el siguiente límite es igual a $-\frac{1}{7}$ , calcula el valor de $a$ (donde $\ln$ denota la función logaritmo neperiano):

\lim_{x \to 0} \frac{\text{sen}(x) - \ln(1 + x)}{ax^2 - x + e^x - \cos(2x)} = -\frac{1}{7}

LímitesRegla de L'HôpitalParámetros

Resolución del límite y cálculo del parámetro $a$

En primer lugar, evaluamos el límite sustituyendo $x = 0$ para comprobar si existe una indeterminación:

\lim_{x \to 0} \frac{\text{sen}(x) - \ln(1 + x)}{ax^2 - x + e^x - \cos(2x)} = \frac{\text{sen}(0) - \ln(1)}{a(0)^2 - 0 + e^0 - \cos(0)} = \frac{0 - 0}{1 - 1} = \frac{0}{0}

Obtenemos una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$ , por lo que aplicamos la regla de L'Hôpital derivando el numerador y el denominador por separado:

\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - \frac{1}{1 + x}}{2ax - 1 + e^x + 2\text{sen}(2x)}

Al evaluar nuevamente en $x = 0$ para verificar si se ha resuelto la indeterminación:

\frac{\cos(0) - \frac{1}{1 + 0}}{2a(0) - 1 + e^0 + 2\text{sen}(0)} = \frac{1 - 1}{0 - 1 + 1 + 0} = \frac{0}{0}

Como persiste la indeterminación $\frac{0}{0}$ , aplicamos la regla de L'Hôpital por segunda vez derivando nuevamente las expresiones:

\lim_{x \to 0} \frac{-\text{sen}(x) + \frac{1}{(1 + x)^2}}{2a + e^x + 4\cos(2x)}

Evaluamos el límite resultante sustituyendo $x = 0$ :

\frac{-\text{sen}(0) + \frac{1}{(1 + 0)^2}}{2a + e^0 + 4\cos(0)} = \frac{0 + 1}{2a + 1 + 4} = \frac{1}{2a + 5}

El enunciado establece que el valor del límite es $-\frac{1}{7}$ , por lo que igualamos el resultado obtenido para hallar el valor de $a$ :

\frac{1}{2a + 5} = -\frac{1}{7}

Multiplicando en cruz para resolver la ecuación:

7 = -(2a + 5) \implies 7 = -2a - 5 \implies 2a = -12 \implies a = -6