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Radiactividad
Problema
2021 · Ordinaria · Titular
D1-b
Examen
b) En el proceso de desintegración de un núcleo de X84218X2842218Po\ce{^{218}_{84}Po}, se emiten sucesivamente una partícula alfa y dos partículas beta, dando lugar finalmente a un núcleo de masa 213,995201 u213,995201 \text{ u}.i) Escriba la reacción nuclear correspondiente.ii) Justifique razonadamente, cuál de los isótopos radioactivos (el X84218X2842218Po\ce{^{218}_{84}Po} o el núcleo que resulta tras los decaimientos) es más estable.

Datos: m(X84218X2842218Po)=218,009007 u;mp=1,007276 u;mn=1,008665 u;1 u=1,661027 kg;c=3108 ms1m(\ce{^{218}_{84}Po}) = 218,009007 \text{ u}; m_{p} = 1,007276 \text{ u}; m_{n} = 1,008665 \text{ u}; 1 \text{ u} = 1,66 \cdot 10^{-27} \text{ kg}; c = 3 \cdot 10^{8} \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}

Desintegración alfaDesintegración betaEstabilidad nuclear
b) i) Escriba la reacción nuclear correspondiente.

La desintegración comienza con un núcleo de X84218X2842218Po\ce{^{218}_{84}Po}. Se emite sucesivamente una partícula alfa (X24X2224α\ce{^{4}_{2}\alpha} o X24X2224He\ce{^{4}_{2}He}) y dos partículas beta (X10X2120β\ce{^{0}_{-1}\beta} o X10X2120e\ce{^{0}_{-1}e}). Aplicamos las leyes de conservación del número másico (A) y del número atómico (Z) en cada paso.1. Emisión de una partícula alfa:

X84218X2842218PoX24X2224He+XZ1A1X2Z12A1XX1\ce{^{218}_{84}Po -> ^{4}_{2}He + ^{A_1}_{Z_1}X_1}

Conservación de A: 218=4+A1    A1=214218 = 4 + A_1 \implies A_1 = 214 Conservación de Z: 84=2+Z1    Z1=8284 = 2 + Z_1 \implies Z_1 = 82 El núcleo resultante es X82214X2822214Pb\ce{^{214}_{82}Pb}.2. Emisión de la primera partícula beta:

X82214X2822214PbX10X2120e+XZ2A2X2Z22A2XX2\ce{^{214}_{82}Pb -> ^{0}_{-1}e + ^{A_2}_{Z_2}X_2}

Conservación de A: 214=0+A2    A2=214214 = 0 + A_2 \implies A_2 = 214 Conservación de Z: 82=1+Z2    Z2=8382 = -1 + Z_2 \implies Z_2 = 83 El núcleo resultante es X83214X2832214Bi\ce{^{214}_{83}Bi}.3. Emisión de la segunda partícula beta:

X83214X2832214BiX10X2120e+XZ3A3X2Z32A3XX3\ce{^{214}_{83}Bi -> ^{0}_{-1}e + ^{A_3}_{Z_3}X_3}

Conservación de A: 214=0+A3    A3=214214 = 0 + A_3 \implies A_3 = 214 Conservación de Z: 83=1+Z3    Z3=8483 = -1 + Z_3 \implies Z_3 = 84 El núcleo final es X84214X2842214Po\ce{^{214}_{84}Po}.La reacción nuclear global es:

X84218X2842218PoX24X2224He+2X10X2120e+X84214X2842214Po\ce{^{218}_{84}Po -> ^{4}_{2}He + 2 ^{0}_{-1}e + ^{214}_{84}Po}
ii) Justifique razonadamente, cuál de los isótopos radioactivos (el X84218X2842218Po\ce{^{218}_{84}Po} o el núcleo que resulta tras los decaimientos) es más estable.

La estabilidad de un núcleo atómico se determina por su energía de enlace por nucleón. Un núcleo es más estable cuanto mayor sea su energía de enlace por nucleón (Eb/AE_b/A). Calcularemos este valor para el núcleo inicial (X84218X2842218Po\ce{^{218}_{84}Po}) y para el núcleo final (X84214X2842214Po\ce{^{214}_{84}Po}).La energía de enlace (EbE_b) se calcula a partir del defecto de masa (Δm\Delta m) mediante la relación de Einstein Eb=Δmc2E_b = \Delta m \cdot c^2. El defecto de masa es la diferencia entre la masa de los nucleones separados y la masa del núcleo:

Δm=(Zmp+Nmn)mnucleo\Delta m = (Z \cdot m_p + N \cdot m_n) - m_{nucleo}

Donde ZZ es el número de protones, NN es el número de neutrones (AZA-Z), mpm_p es la masa del protón y mnm_n la masa del neutrón.Para el núcleo inicial: X84218X2842218Po\ce{^{218}_{84}Po} A=218A = 218, Z=84Z = 84, N=21884=134N = 218 - 84 = 134

mconstituyentes=(841,007276 u)+(1341,008665 u)m_{constituyentes} = (84 \cdot 1,007276 \text{ u}) + (134 \cdot 1,008665 \text{ u})
mconstituyentes=84,611184 u+135,164710 u=219,775894 um_{constituyentes} = 84,611184 \text{ u} + 135,164710 \text{ u} = 219,775894 \text{ u}
Δm1=219,775894 u218,009007 u=1,766887 u\Delta m_1 = 219,775894 \text{ u} - 218,009007 \text{ u} = 1,766887 \text{ u}
Eb1=Δm1(1 uc2)=1,766887 u(1,661027 kg/u)(3108 m/s)2E_{b1} = \Delta m_1 \cdot (1 \text{ u} \cdot c^2) = 1,766887 \text{ u} \cdot (1,66 \cdot 10^{-27} \text{ kg/u}) \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ m/s})^2
Eb1=1,7668871,66102791016 J=2,64001010 JE_{b1} = 1,766887 \cdot 1,66 \cdot 10^{-27} \cdot 9 \cdot 10^{16} \text{ J} = 2,6400 \cdot 10^{-10} \text{ J}
Eb1A1=2,64001010 J2181,21101012 J/nucleoˊn\frac{E_{b1}}{A_1} = \frac{2,6400 \cdot 10^{-10} \text{ J}}{218} \approx 1,2110 \cdot 10^{-12} \text{ J/nucleón}

Para el núcleo final: X84214X2842214Po\ce{^{214}_{84}Po} A=214A = 214, Z=84Z = 84, N=21484=130N = 214 - 84 = 130

mconstituyentes=(841,007276 u)+(1301,008665 u)m_{constituyentes} = (84 \cdot 1,007276 \text{ u}) + (130 \cdot 1,008665 \text{ u})
mconstituyentes=84,611184 u+131,126450 u=215,737634 um_{constituyentes} = 84,611184 \text{ u} + 131,126450 \text{ u} = 215,737634 \text{ u}
Δm2=215,737634 u213,995201 u=1,742433 u\Delta m_2 = 215,737634 \text{ u} - 213,995201 \text{ u} = 1,742433 \text{ u}
Eb2=Δm2(1 uc2)=1,742433 u(1,661027 kg/u)(3108 m/s)2E_{b2} = \Delta m_2 \cdot (1 \text{ u} \cdot c^2) = 1,742433 \text{ u} \cdot (1,66 \cdot 10^{-27} \text{ kg/u}) \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ m/s})^2
Eb2=1,7424331,66102791016 J=2,60131010 JE_{b2} = 1,742433 \cdot 1,66 \cdot 10^{-27} \cdot 9 \cdot 10^{16} \text{ J} = 2,6013 \cdot 10^{-10} \text{ J}
Eb2A2=2,60131010 J2141,21561012 J/nucleoˊn\frac{E_{b2}}{A_2} = \frac{2,6013 \cdot 10^{-10} \text{ J}}{214} \approx 1,2156 \cdot 10^{-12} \text{ J/nucleón}

Comparando las energías de enlace por nucleón:

Eb1A1(X84218X2842218Po)1,21101012 J/nucleoˊn\frac{E_{b1}}{A_1} (\ce{^{218}_{84}Po}) \approx 1,2110 \cdot 10^{-12} \text{ J/nucleón}
Eb2A2(X84214X2842214Po)1,21561012 J/nucleoˊn\frac{E_{b2}}{A_2} (\ce{^{214}_{84}Po}) \approx 1,2156 \cdot 10^{-12} \text{ J/nucleón}

Dado que la energía de enlace por nucleón del núcleo final (X84214X2842214Po\ce{^{214}_{84}Po}) es ligeramente mayor que la del núcleo inicial (X84218X2842218Po\ce{^{218}_{84}Po}), el núcleo que resulta tras los decaimientos (X84214X2842214Po\ce{^{214}_{84}Po}) es más estable.