Analizamos la continuidad de la función $f(x)$ en los intervalos donde cada parte está definida y en el punto de "enganche" $x=1$.1. Para $x < 1$: $f(x) = x^3 + 2x^2 - 3$ es una función polinómica, por lo tanto, es continua en este intervalo.2. Para $x > 1$: $f(x) = 1 + \frac{1}{x - 2}$ es una función racional. Es continua en su dominio, es decir, donde el denominador no se anula. El denominador se anula cuando $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$. Por lo tanto, en $x=2$ (que está en el intervalo $x>1$), la función presenta una discontinuidad. Analizamos la discontinuidad en $x=2$:

Dado que los límites laterales en $x=2$ son infinitos, la función presenta una discontinuidad de salto infinito (o de segunda especie) en $x=2$.3. En el punto de "enganche" $x=1$: Para que la función sea continua en $x=1$, deben cumplirse tres condiciones: a) $f(1)$ debe existir:

b) Los límites laterales deben existir y ser iguales:

c) $f(1) = \lim_{x \to 1} f(x)$:

Como se cumplen las tres condiciones, la función es continua en $x=1$.Conclusión: La función $f(x)$ es continua en todo $\mathbb{R}$ excepto en $x=2$, donde presenta una discontinuidad de salto infinito.

Para estudiar la derivabilidad, primero calculamos la derivada de cada trozo donde la función es continua y derivable.

1. Derivabilidad en $x < 1$: $f'(x) = 3x^2 + 4x$ existe para todo $x < 1$.2. Derivabilidad en $x > 1$: $f'(x) = -\frac{1}{(x - 2)^2}$ existe para todo $x > 1$ excepto en $x=2$. Como $f(x)$ no es continua en $x=2$, no es derivable en $x=2$.3. Derivabilidad en el punto de "enganche" $x=1$: Para que $f$ sea derivable en $x=1$, debe ser continua en $x=1$ (lo cual ya hemos comprobado en el apartado a)). Además, las derivadas laterales deben ser iguales.

Como $f'(1^-) = 7 \neq f'(1^+) = -1$, la función no es derivable en $x=1$.Conclusión: La función $f(x)$ es derivable en $\mathbb{R} \setminus \{1, 2\}$.

1. Asíntotas Verticales (AV): Buscamos puntos donde $\lim_{x \to a} f(x) = \pm \infty$. De la sección de continuidad, sabemos que hay una discontinuidad de salto infinito en $x=2$.

Por lo tanto, la recta $x=2$ es una asíntota vertical.2. Asíntotas Horizontales (AH): Calculamos los límites de $f(x)$ cuando $x \to \pm \infty$. a) Para $x \to -\infty$: Usamos $f(x) = x^3 + 2x^2 - 3$.

No hay asíntota horizontal cuando $x \to -\infty$. b) Para $x \to +\infty$: Usamos $f(x) = 1 + \frac{1}{x - 2}$.

Por lo tanto, la recta $y=1$ es una asíntota horizontal cuando $x \to +\infty$.3. Asíntotas Oblicuas (AO): Una función tiene asíntota oblicua si no tiene asíntota horizontal en esa dirección y se cumplen ciertas condiciones. a) Para $x \to -\infty$: Como $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$, podría haber una asíntota oblicua. Calculamos $m = \lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x}$.

Como $m$ es infinito, no hay asíntota oblicua cuando $x \to -\infty$. b) Para $x \to +\infty$: Ya existe una asíntota horizontal ($y=1$), por lo tanto, no puede haber asíntota oblicua cuando $x \to +\infty$.Conclusión: La función $f(x)$ tiene una asíntota vertical en $x=2$ y una asíntota horizontal en $y=1$ (solo para $x \to +\infty$). No tiene asíntotas oblicuas.