T5: Física moderna

Dualidad onda-corpúsculo

Teoría

2019 · Ordinaria · Suplente

4A-a

a) Justifique la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones: i) Un electrón en movimiento puede ser estudiado como una onda o como una partícula. ii) Si se duplica la velocidad de una partícula se duplica también su longitud de onda asociada. iii) Si se reduce a la mitad la energía cinética de una partícula se reduce a la mitad su longitud de onda asociada.

Hipótesis de De BroglieLongitud de onda asociada

a) Justificación de la veracidad o falsedad de las afirmaciones:

i) Un electrón en movimiento puede ser estudiado como una onda o como una partícula.Esta afirmación es verdadera. La dualidad onda-partícula es un concepto fundamental en la mecánica cuántica. El principio de De Broglie establece que todas las partículas de materia tienen propiedades ondulatorias, y su longitud de onda está dada por la expresión $\lambda = h/p$ . Un electrón, aunque es una partícula, puede exhibir fenómenos ondulatorios como la difracción e interferencia, dependiendo del experimento realizado.ii) Si se duplica la velocidad de una partícula se duplica también su longitud de onda asociada.Esta afirmación es falsa. La longitud de onda de De Broglie para una partícula se define como:

\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}

Donde $h$ es la constante de Planck, $m$ es la masa de la partícula y $v$ es su velocidad. Como se puede observar, la longitud de onda $\lambda$ es inversamente proporcional a la velocidad $v$ . Si la velocidad $v$ se duplica, la longitud de onda se reduce a la mitad:

\lambda' = \frac{h}{m(2v)} = \frac{1}{2} \left( \frac{h}{mv} \right) = \frac{1}{2}\lambda

iii) Si se reduce a la mitad la energía cinética de una partícula se reduce a la mitad su longitud de onda asociada.Esta afirmación es falsa. Primero, relacionamos la energía cinética ( $E_c$ ) con el momento lineal ( $p$ ):

E_c = \frac{1}{2}mv^2

p = mv \implies v = \frac{p}{m}

E_c = \frac{1}{2}m\left(\frac{p}{m}\right)^2 = \frac{1}{2}m\frac{p^2}{m^2} = \frac{p^2}{2m}

De aquí, podemos expresar el momento lineal en función de la energía cinética:

p = \sqrt{2mE_c}

Sustituyendo esto en la fórmula de la longitud de onda de De Broglie:

\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE_c}}

Si la energía cinética se reduce a la mitad ( $E_c' = E_c/2$ ), la nueva longitud de onda $\lambda'$ será:

\lambda' = \frac{h}{\sqrt{2m(E_c/2)}} = \frac{h}{\sqrt{mE_c}} = \frac{h}{\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{2mE_c}} = \sqrt{2} \frac{h}{\sqrt{2mE_c}} = \sqrt{2}\lambda

Por lo tanto, si la energía cinética se reduce a la mitad, la longitud de onda asociada se multiplica por $\sqrt{2}$ (aumenta), no se reduce a la mitad.