T6: Teoría de muestras · Intervalos de confianza para la proporción — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2022

Intervalos de confianza para la proporción

Problema

2022 · Extraordinaria · Reserva

Se desea estimar la proporción de estudiantes de una universidad que proceden de otras provincias, para ello se selecciona una muestra de tamaño 2100 de los que 630 lo cumplen.

a) Calcule un intervalo de confianza con un nivel del 97.5% para estimar la proporción poblacional de estudiantes de esa universidad procedentes de otras provincias.b) En una nueva muestra que mantiene la misma proporción muestral, y con el mismo nivel de confianza, queremos que el error máximo cometido sea de 0.01. Halle su tamaño mínimo.

Intervalo de confianzaProporciónTamaño muestral

Se dispone de la siguiente información de la muestra:

n = 2100

x = 630

La proporción muestral ( $\hat{p}$ ) y su complementaria ( $\hat{q}$ ) se calculan como:

\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{630}{2100} = 0.3

\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.3 = 0.7

a) Calcule un intervalo de confianza con un nivel del 97.5% para estimar la proporción poblacional de estudiantes de esa universidad procedentes de otras provincias.

Para un nivel de confianza del 97.5%, el nivel de significancia $\alpha$ es $1 - 0.975 = 0.025$ . Distribuyendo este valor en las dos colas de la distribución normal, obtenemos $\alpha/2 = 0.0125$ . Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha/2 = 1 - 0.0125 = 0.9875$ . Consultando la tabla de la distribución normal estándar, encontramos que:

z_{\alpha/2} = z_{0.0125} = 2.24

El intervalo de confianza para la proporción poblacional $p$ se calcula mediante la fórmula:

IC = \left( \hat{p} - z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}}, \hat{p} + z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}} \right)

Primero calculamos el margen de error $E$ :

E = z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}} = 2.24 \sqrt{\frac{0.3 \cdot 0.7}{2100}}

E = 2.24 \sqrt{\frac{0.21}{2100}} = 2.24 \sqrt{0.0001} = 2.24 \cdot 0.01 = 0.0224

Ahora, construimos el intervalo de confianza:

IC = (0.3 - 0.0224, 0.3 + 0.0224)

IC = (0.2776, 0.3224)

El intervalo de confianza del 97.5% para la proporción poblacional de estudiantes de otras provincias es $(0.2776, 0.3224)$ .

b) En una nueva muestra que mantiene la misma proporción muestral, y con el mismo nivel de confianza, queremos que el error máximo cometido sea de 0.01. Halle su tamaño mínimo.

Para calcular el tamaño mínimo de la muestra ( $n$ ), utilizamos la fórmula del error máximo ( $E$ ):

E = z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}}

Despejamos $n$ de la fórmula:

n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \hat{p}\hat{q}}{E^2}

Con los valores:

\hat{p} = 0.3

\hat{q} = 0.7

z_{\alpha/2} = 2.24

E = 0.01

Sustituimos los valores en la fórmula:

n = \frac{(2.24)^2 \cdot 0.3 \cdot 0.7}{(0.01)^2}

n = \frac{5.0176 \cdot 0.21}{0.0001}

n = \frac{1.053696}{0.0001}

n = 10536.96

Dado que el tamaño de la muestra debe ser un número entero, redondeamos al alza para asegurar que el error máximo no exceda el valor deseado.

n_{mínimo} = 10537

El tamaño mínimo de la muestra debe ser 10537 estudiantes.