T4: Funciones · Análisis de funciones y cálculo integral — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2021

Análisis de funciones y cálculo integral

Problema

2021 · Ordinaria · Titular

Se considera la función $f(x) = x^3 - 4x^2 + 4x$ .

a) Estudie su monotonía y calcule sus extremos.b) Represente gráficamente la función.c) Calcule

\int f(x)dx

.d) Calcule el área del recinto acotado limitado por la gráfica de

f

y el eje de abscisas.

Extremos relativosMonotoníaIntegrales+1

a) Estudie su monotonía y calcule sus extremos.

Para estudiar la monotonía y calcular los extremos de la función $f(x) = x^3 - 4x^2 + 4x$ , primero calculamos su primera derivada.

f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 4x^2 + 4x) = 3x^2 - 8x + 4

Para encontrar los puntos críticos, igualamos la primera derivada a cero:

3x^2 - 8x + 4 = 0

Resolvemos la ecuación cuadrática utilizando la fórmula general:

x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4(3)(4)}}{2(3)} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 48}}{6} = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{6} = \frac{8 \pm 4}{6}

Los puntos críticos son:

x_1 = \frac{8 - 4}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

x_2 = \frac{8 + 4}{6} = \frac{12}{6} = 2

Ahora estudiamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por los puntos críticos $(-\infty, 2/3)$ , $(2/3, 2)$ y $(2, \infty)$ .• En $(-\infty, 2/3)$ , tomamos $x=0$ : $f'(0) = 3(0)^2 - 8(0) + 4 = 4 > 0$ . La función es creciente.• En $(2/3, 2)$ , tomamos $x=1$ : $f'(1) = 3(1)^2 - 8(1) + 4 = 3 - 8 + 4 = -1 < 0$ . La función es decreciente.• En $(2, \infty)$ , tomamos $x=3$ : $f'(3) = 3(3)^2 - 8(3) + 4 = 27 - 24 + 4 = 7 > 0$ . La función es creciente.Extremos relativos:• En $x = 2/3$ , la función cambia de creciente a decreciente, por lo que hay un máximo local. El valor de la función es:

f\left(\frac{2}{3}\right) = \left(\frac{2}{3}\right)^3 - 4\left(\frac{2}{3}\right)^2 + 4\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{8}{27} - 4\left(\frac{4}{9}\right) + \frac{8}{3} = \frac{8}{27} - \frac{16}{9} + \frac{8}{3} = \frac{8 - 48 + 72}{27} = \frac{32}{27}

Máximo local en $\left(\frac{2}{3}, \frac{32}{27}\right)$ .• En $x = 2$ , la función cambia de decreciente a creciente, por lo que hay un mínimo local. El valor de la función es:

f(2) = (2)^3 - 4(2)^2 + 4(2) = 8 - 16 + 8 = 0

Mínimo local en $(2, 0)$ .

b) Represente gráficamente la función.

Para representar la función, consideramos los puntos clave:• Puntos de corte con el eje X: $f(x) = x^3 - 4x^2 + 4x = x(x^2 - 4x + 4) = x(x-2)^2 = 0$ . Los cortes son en $x=0$ y $x=2$ (raíz doble).• Puntos de corte con el eje Y: $f(0) = 0$ . Corta en $(0,0)$ .• Extremos locales: Máximo en $\left(\frac{2}{3}, \frac{32}{27}\right) \approx (0.67, 1.19)$ y Mínimo en $(2, 0)$ .• Comportamiento en el infinito: Cuando $x \to \infty$ , $f(x) \to \infty$ . Cuando $x \to -\infty$ , $f(x) \to -\infty$ .

c) Calcule

\int f(x)dx

Calculamos la integral indefinida de $f(x)$ :

\int (x^3 - 4x^2 + 4x)dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} - 4\frac{x^{2+1}}{2+1} + 4\frac{x^{1+1}}{1+1} + C

\int f(x)dx = \frac{x^4}{4} - \frac{4x^3}{3} + \frac{4x^2}{2} + C

\int f(x)dx = \frac{x^4}{4} - \frac{4x^3}{3} + 2x^2 + C

d) Calcule el área del recinto acotado limitado por la gráfica de

f

y el eje de abscisas.

El recinto acotado por la gráfica de $f(x)$ y el eje de abscisas está entre los puntos de corte con el eje X, que son $x=0$ y $x=2$ . En el intervalo $[0,2]$ , la función $f(x) = x(x-2)^2$ es mayor o igual que cero, ya que $x \ge 0$ y $(x-2)^2 \ge 0$ . Por lo tanto, el área se calcula mediante la integral definida:

A = \int_{0}^{2} f(x)dx = \int_{0}^{2} (x^3 - 4x^2 + 4x)dx

Utilizamos la primitiva obtenida en el apartado c):

A = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{4x^3}{3} + 2x^2 \right]_{0}^{2}

A = \left( \frac{2^4}{4} - \frac{4(2^3)}{3} + 2(2^2) \right) - \left( \frac{0^4}{4} - \frac{4(0^3)}{3} + 2(0^2) \right)

A = \left( \frac{16}{4} - \frac{4(8)}{3} + 2(4) \right) - (0)

A = \left( 4 - \frac{32}{3} + 8 \right)

A = \left( 12 - \frac{32}{3} \right)

A = \left( \frac{36}{3} - \frac{32}{3} \right)

A = \frac{4}{3}

El área del recinto acotado es $\frac{4}{3}$ unidades cuadradas.