AndalucíaAndalucía
MadridMadrid
CataluñaCataluña
GaliciaGalicia
MurciaMurcia
ValenciaValencia
En construcciónAñadimos comunidades, materias, años y soluciones de forma progresiva y constante.
T4: Funciones
Continuidad, Derivabilidad e Integración
Problema
2022 · Ordinaria · Titular
4
Examen
a) Se considera la función
f(x)={6x−3x≤1ax2+bx+2x>1f(x) = \begin{cases} 6x - 3 & x \leq 1 \\ ax^2 + bx + 2 & x > 1 \end{cases}

con aa y bb números reales. Determine los valores de aa y bb para que ff sea continua y derivable en todo su dominio.

b) Calcule el área del recinto acotado, limitado por el eje OXOX y la gráfica de la función g(x)=−2x2+8x−6g(x) = -2x^2 + 8x - 6.
ContinuidadDerivabilidadÁreas+1
a) Para que la función f(x)f(x) sea continua en todo su dominio, debe ser continua en x=1x=1, ya que es un punto de unión de las dos expresiones de la función. Para ello, los límites laterales y el valor de la función en x=1x=1 deben coincidir.
lim⁡x→1−f(x)=f(1)=6(1)−3=3\lim_{x \to 1^-} f(x) = f(1) = 6(1) - 3 = 3
lim⁡x→1+f(x)=a(1)2+b(1)+2=a+b+2\lim_{x \to 1^+} f(x) = a(1)^2 + b(1) + 2 = a + b + 2

Igualando ambos valores obtenemos la primera ecuación:

a+b+2=3⇒a+b=1(1)a + b + 2 = 3 \Rightarrow a + b = 1 \quad (1)

Para que la función f(x)f(x) sea derivable en todo su dominio, debe ser derivable en x=1x=1. Para ello, las derivadas laterales deben coincidir.Primero, calculamos la derivada de cada rama de la función:

f′(x)={6x<12ax+bx>1f'(x) = \begin{cases} 6 & x < 1 \\ 2ax + b & x > 1 \end{cases}

Ahora, igualamos las derivadas laterales en x=1x=1:

lim⁡x→1−f′(x)=6\lim_{x \to 1^-} f'(x) = 6
lim⁡x→1+f′(x)=2a(1)+b=2a+b\lim_{x \to 1^+} f'(x) = 2a(1) + b = 2a + b

Igualando ambos valores obtenemos la segunda ecuación:

2a+b=6(2)2a + b = 6 \quad (2)

Resolvemos el sistema de ecuaciones formado por (1) y (2):

{a+b=12a+b=6\begin{cases} a + b = 1 \\ 2a + b = 6 \end{cases}

Restamos la primera ecuación de la segunda:

(2a + b) - (a + b) = 6 - 1 \Rightarrow a = 5

Sustituimos a=5a=5 en la primera ecuación:

5+b=1⇒b=−45 + b = 1 \Rightarrow b = -4

Por lo tanto, los valores son a=5a=5 y b=−4b=-4.

b) Para calcular el área del recinto acotado limitado por el eje OXOX y la gráfica de la función g(x)=−2x2+8x−6g(x) = -2x^2 + 8x - 6, primero encontramos los puntos de corte de la función con el eje OXOX (es decir, las raíces de g(x)g(x)).
−2x2+8x−6=0-2x^2 + 8x - 6 = 0

Dividimos toda la ecuación por −2-2:

x2−4x+3=0x^2 - 4x + 3 = 0

Resolvemos la ecuación cuadrática (factorizando o usando la fórmula general):

(x−1)(x−3)=0(x - 1)(x - 3) = 0

Los puntos de corte con el eje OXOX son x=1x=1 y x=3x=3. Estos serán los límites de integración.Para determinar si la función está por encima o por debajo del eje OXOX en el intervalo [1,3][1, 3], evaluamos un punto intermedio, por ejemplo x=2x=2:

g(2)=−2(2)2+8(2)−6=−2(4)+16−6=−8+16−6=2g(2) = -2(2)^2 + 8(2) - 6 = -2(4) + 16 - 6 = -8 + 16 - 6 = 2

Dado que g(2)=2>0g(2) = 2 > 0, la gráfica de la función está por encima del eje OXOX en el intervalo [1,3][1, 3]. Por lo tanto, el área se calcula mediante la integral definida:

A=∫13(−2x2+8x−6)dxA = \int_{1}^{3} (-2x^2 + 8x - 6) dx

Calculamos la integral indefinida:

∫(−2x2+8x−6)dx=−23x3+82x2−6x=−23x3+4x2−6x\int (-2x^2 + 8x - 6) dx = -\frac{2}{3}x^3 + \frac{8}{2}x^2 - 6x = -\frac{2}{3}x^3 + 4x^2 - 6x

Ahora, evaluamos la integral definida en los límites de integración:

A=[−23x3+4x2−6x]13A = \left[ -\frac{2}{3}x^3 + 4x^2 - 6x \right]_{1}^{3}
A=(−23(3)3+4(3)2−6(3))−(−23(1)3+4(1)2−6(1))A = \left( -\frac{2}{3}(3)^3 + 4(3)^2 - 6(3) \right) - \left( -\frac{2}{3}(1)^3 + 4(1)^2 - 6(1) \right)
A=(−23(27)+4(9)−18)−(−23+4−6)A = \left( -\frac{2}{3}(27) + 4(9) - 18 \right) - \left( -\frac{2}{3} + 4 - 6 \right)
A=(−18+36−18)−(−23−2)A = \left( -18 + 36 - 18 \right) - \left( -\frac{2}{3} - 2 \right)
A=(0)−(−23−63)A = (0) - \left( -\frac{2}{3} - \frac{6}{3} \right)
A=0−(−83)A = 0 - \left( -\frac{8}{3} \right)
A=83A = \frac{8}{3}

El área del recinto acotado es 83\frac{8}{3} unidades cuadradas.