T6: Teoría de muestras · Intervalos de confianza y distribución normal — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2023

Intervalos de confianza y distribución normal

Problema

2023 · Extraordinaria · Titular

Una empresa fabrica piezas cuyo diámetro sigue una distribución Normal de media desconocida y varianza $9 \text{ mm}^2$ .

a) Se seleccionan al azar

144

piezas obteniéndose un diámetro medio de

81 \text{ mm}

. Determine un intervalo de confianza al

98.5 \ \%

para estimar el diámetro medio de las piezas fabricadas por la empresa.b) Con el mismo nivel de confianza del apartado anterior, ¿de qué tamaño mínimo habría que tomar la muestra para obtener un intervalo de confianza con una amplitud máxima de

0.9

?c) Suponiendo que la media poblacional es de

80.4 \text{ mm}

y tomando muestras aleatorias de

64

piezas, ¿qué distribución de probabilidad sigue la variable aleatoria diámetro medio muestral? ¿Cuál es la probabilidad de que el diámetro medio muestral esté comprendido entre

79.5 \text{ mm}

80.7 \text{ mm}

Distribución NormalIntervalo de confianzaTamaño muestral

Se tiene una población con distribución Normal de media $\mu$ desconocida y varianza $\sigma^2 = 9 \text{ mm}^2$ . Por lo tanto, la desviación típica es $\sigma = \sqrt{9} = 3 \text{ mm}$ .

a) Determinación de un intervalo de confianza al

98.5 \ \%

para la media poblacional

\mu

Datos:* Tamaño de la muestra: $n = 144$ * Media muestral: $\bar{x} = 81 \text{ mm}$ * Desviación típica poblacional: $\sigma = 3 \text{ mm}$ * Nivel de confianza: $CL = 98.5\% = 0.985$ Para un nivel de confianza del $98.5\%$ , se tiene:

1 - \alpha = 0.985 \implies \alpha = 0.015 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.0075

Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z < z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0.0075 = 0.9925$ .Consultando las tablas de la distribución Normal estándar, se obtiene $z_{\alpha/2} \approx 2.43$ .El intervalo de confianza para la media poblacional $\mu$ viene dado por la fórmula:

IC = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)

Calculamos el margen de error $E$ :

E = z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2.43 \cdot \frac{3}{\sqrt{144}} = 2.43 \cdot \frac{3}{12} = 2.43 \cdot 0.25 = 0.6075

Sustituimos los valores para obtener el intervalo de confianza:

IC = (81 - 0.6075, 81 + 0.6075) = (80.3925, 81.6075)

b) Cálculo del tamaño mínimo de la muestra para una amplitud máxima de

0.9

El nivel de confianza es el mismo, $98.5\%$ , por lo que $z_{\alpha/2} = 2.43$ .La amplitud del intervalo de confianza es $A = 2E$ , donde $E$ es el margen de error.Nos piden que la amplitud máxima sea $0.9$ , por lo tanto, $A \le 0.9$ . Esto implica $2E \le 0.9$ , así que $E \le 0.45$ .Utilizamos la fórmula del margen de error para despejar $n$ :

E = z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

Sustituimos los valores conocidos:

0.45 = 2.43 \cdot \frac{3}{\sqrt{n}}

Despejamos $\sqrt{n}$ :

0.45 \sqrt{n} = 2.43 \cdot 3 \implies 0.45 \sqrt{n} = 7.29

\sqrt{n} = \frac{7.29}{0.45} = 16.2

Elevamos al cuadrado para encontrar $n$ :

n = (16.2)^2 = 262.44

Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y para garantizar que la amplitud máxima no se supere, redondeamos al siguiente entero superior.Por lo tanto, el tamaño mínimo de la muestra debe ser $n = 263$ piezas.

c) Distribución de la media muestral y probabilidad.

Datos:* Media poblacional: $\mu = 80.4 \text{ mm}$ * Desviación típica poblacional: $\sigma = 3 \text{ mm}$ * Tamaño de la muestra: $n = 64$ Según el Teorema Central del Límite, la distribución de la variable aleatoria "diámetro medio muestral" ( $\bar{X}$ ) sigue una distribución Normal con media $\mu_{\bar{X}} = \mu$ y desviación típica $\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ .Calculamos la media y la desviación típica de la distribución de $\bar{X}$ :

\mu_{\bar{X}} = 80.4 \text{ mm}

\sigma_{\bar{X}} = \frac{3}{\sqrt{64}} = \frac{3}{8} = 0.375 \text{ mm}

Así, la variable aleatoria diámetro medio muestral sigue la distribución $\bar{X} \sim N(80.4, 0.375)$ .Para calcular la probabilidad de que el diámetro medio muestral esté comprendido entre $79.5 \text{ mm}$ y $80.7 \text{ mm}$ , estandarizamos los valores a la distribución Normal estándar $Z \sim N(0,1)$ .

Z_1 = \frac{79.5 - 80.4}{0.375} = \frac{-0.9}{0.375} = -2.4

Z_2 = \frac{80.7 - 80.4}{0.375} = \frac{0.3}{0.375} = 0.8

La probabilidad es $P(79.5 < \bar{X} < 80.7) = P(-2.4 < Z < 0.8)$ .Esto se calcula como $P(Z < 0.8) - P(Z < -2.4)$ .Consultando las tablas de la distribución Normal estándar:

P(Z < 0.8) \approx 0.7881

P(Z < -2.4) \approx 0.0082

Por lo tanto:

P(79.5 < \bar{X} < 80.7) = 0.7881 - 0.0082 = 0.7799