T4: Funciones · Análisis de funciones y rectas tangente/normal

Análisis de funciones y rectas tangente/normal

Problema

2022 · Extraordinaria · Reserva

Sea $f: [0, 2\pi] \to \mathbb{R}$ la función definida por $f(x) = e^x (\cos(x) + \operatorname{sen}(x))$ .

a) Halla los extremos absolutos de

f

(abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).b) Determina la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a la gráfica de

f

en el punto de abscisa

x = \frac{3\pi}{2}

Extremos absolutosDerivadasRecta tangente

a) Halla los extremos absolutos de

f

(abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Para hallar los extremos absolutos de la función $f(x) = e^x (\cos(x) + \operatorname{sen}(x))$ en el intervalo $[0, 2\pi]$ , primero calculamos la primera derivada $f'(x)$ .

f'(x) = \frac{d}{dx} (e^x (\cos(x) + \operatorname{sen}(x)))

f'(x) = e^x (\cos(x) + \operatorname{sen}(x)) + e^x (-\operatorname{sen}(x) + \cos(x))

f'(x) = e^x (\cos(x) + \operatorname{sen}(x) - \operatorname{sen}(x) + \cos(x))

f'(x) = 2e^x \cos(x)

A continuación, buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero:

2e^x \cos(x) = 0

Dado que $e^x > 0$ para todo $x$ , la ecuación se reduce a $\cos(x) = 0$ . En el intervalo $[0, 2\pi]$ , los valores de $x$ donde $\cos(x) = 0$ son:

x = \frac{\pi}{2}, \quad x = \frac{3\pi}{2}

Ahora evaluamos la función $f(x)$ en los puntos críticos y en los extremos del intervalo $[0, 2\pi]$ :

f(0) = e^0 (\cos(0) + \operatorname{sen}(0)) = 1(1 + 0) = 1

f\left(\frac{\pi}{2}\right) = e^{\pi/2} \left(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right)\right) = e^{\pi/2}(0 + 1) = e^{\pi/2}

f\left(\frac{3\pi}{2}\right) = e^{3\pi/2} \left(\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) + \operatorname{sen}\left(\frac{3\pi}{2}\right)\right) = e^{3\pi/2}(0 - 1) = -e^{3\pi/2}

f(2\pi) = e^{2\pi} (\cos(2\pi) + \operatorname{sen}(2\pi)) = e^{2\pi}(1 + 0) = e^{2\pi}

Comparando los valores obtenidos:

f(0) = 1

f\left(\frac{\pi}{2}\right) \approx 4.81

f\left(\frac{3\pi}{2}\right) \approx -111.32

f(2\pi) \approx 535.49

El valor máximo absoluto es $e^{2\pi}$ , alcanzado en $x = 2\pi$ .El valor mínimo absoluto es $-e^{3\pi/2}$ , alcanzado en $x = \frac{3\pi}{2}$ .

b) Determina la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a la gráfica de

f

en el punto de abscisa

x = \frac{3\pi}{2}

Para determinar las ecuaciones de la recta tangente y normal, necesitamos el punto de tangencia $(x_0, f(x_0))$ y la pendiente $m_t = f'(x_0)$ .El punto de abscisa es $x_0 = \frac{3\pi}{2}$ . El valor de la función en este punto es:

f\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -e^{3\pi/2}

Así, el punto de tangencia es $P\left(\frac{3\pi}{2}, -e^{3\pi/2}\right)$ .La pendiente de la recta tangente es $f'\left(\frac{3\pi}{2}\right)$ :

m_t = f'\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 2e^{3\pi/2} \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right)

m_t = 2e^{3\pi/2} (0) = 0

La ecuación de la recta tangente es $y - y_0 = m_t(x - x_0)$ :

y - (-e^{3\pi/2}) = 0\left(x - \frac{3\pi}{2}\right)

y + e^{3\pi/2} = 0

y = -e^{3\pi/2}

Esta es la ecuación de la recta tangente, una recta horizontal.Dado que la recta tangente es horizontal ( $m_t = 0$ ), la recta normal será vertical. La ecuación de una recta vertical que pasa por $x_0$ es $x = x_0$ .La ecuación de la recta normal es $x = \frac{3\pi}{2}$ .