T3: Geometría · Geometría métrica — MATEMATICAS II PEvAU Andalucía 2021

Geometría métrica

Problema

2021 · Extraordinaria · Titular

EJERCICIO 7

La recta perpendicular desde el punto $A(1, 1, 0)$ a un cierto plano $\pi$ corta a éste en el punto $B \left( 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right)$ .

a) Calcula la ecuación del plano

\pi

.b) Halla la distancia del punto

A

a su simétrico respecto a

\pi

GeometríaPlanosSimetría+1

a) Calcula la ecuación del plano

\pi

Dado que la recta perpendicular desde el punto $A(1, 1, 0)$ al plano $\pi$ corta a este en el punto $B \left( 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right)$ , el vector $\vec{AB}$ es un vector normal al plano $\pi$ . Además, el punto $B$ pertenece al plano.Calculamos el vector $\vec{AB}$ :

\vec{AB} = B - A = \left( 1-1, \frac{1}{2}-1, \frac{1}{2}-0 \right) = \left( 0, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right)

Este vector $\vec{n} = \left( 0, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right)$ es un vector normal al plano. Para simplificar, podemos usar un vector normal paralelo, como $\vec{n'} = 2\vec{n} = (0, -1, 1)$ . También podríamos usar $\vec{n''} = -2\vec{n} = (0, 1, -1)$ . Usemos $\vec{n''} = (0, 1, -1)$ .La ecuación general del plano $\pi$ es $Ax + By + Cz + D = 0$ , donde $(A, B, C)$ son las coordenadas del vector normal. Así, la ecuación del plano es:

0x + 1y - 1z + D = 0 \Rightarrow y - z + D = 0

Como el punto $B \left( 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right)$ pertenece al plano, sustituimos sus coordenadas en la ecuación para hallar $D$ :

\frac{1}{2} - \frac{1}{2} + D = 0 \Rightarrow D = 0

Por lo tanto, la ecuación del plano $\pi$ es:

y - z = 0

b) Halla la distancia del punto

A

a su simétrico respecto a

\pi

Sea $A'$ el punto simétrico de $A$ respecto al plano $\pi$ . La distancia de $A$ a $A'$ es el doble de la distancia de $A$ al plano $\pi$ . El punto $B$ es la proyección de $A$ sobre el plano $\pi$ , por lo que la distancia de $A$ al plano es igual a la distancia de $A$ a $B$ .Calculamos la distancia entre los puntos $A(1, 1, 0)$ y $B \left( 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right)$ :

d(A, B) = \sqrt{(1-1)^2 + \left(1-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(0-\frac{1}{2}\right)^2}

d(A, B) = \sqrt{0^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2}

d(A, B) = \sqrt{0 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}}

d(A, B) = \sqrt{\frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

La distancia del punto $A$ a su simétrico $A'$ respecto al plano $\pi$ es el doble de esta distancia:

d(A, A') = 2 \cdot d(A, B) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}