T5: Probabilidad · Probabilidad compuesta y condicionada — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2022

Probabilidad compuesta y condicionada

Problema

2022 · Ordinaria · Suplente

BLOQUE C

Juan realiza el siguiente juego: Lanza dos dados simultáneamente y si la suma es $2$ o mayor que $7$ , gana y termina el juego. En caso contrario, tiene una segunda y última oportunidad lanzando de nuevo los dos dados y ganaría si la suma es mayor que $9$ .

a) ¿Cuál es la probabilidad de que Juan gane lanzando una sola vez los dados?b) ¿Cuál es la probabilidad de que Juan gane en la segunda oportunidad?c) ¿Cuál es la probabilidad de que Juan gane?

ProbabilidadDadosSucesos independientes

Para resolver este ejercicio, primero vamos a determinar el espacio muestral y los eventos asociados al lanzamiento de dos dados. El número total de resultados posibles al lanzar dos dados es $6 \times 6 = 36$ . A continuación, se detalla la frecuencia de cada suma posible:

\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Suma} & \text{N^{\circ} de casos favorables} \\ \hline 2 & 1 \text{ ((1,1))} \\ 3 & 2 \text{ ((1,2), (2,1))} \\ 4 & 3 \text{ ((1,3), (2,2), (3,1))} \\ 5 & 4 \text{ ((1,4), (2,3), (3,2), (4,1))} \\ 6 & 5 \text{ ((1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1))} \\ 7 & 6 \text{ ((1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1))} \\ 8 & 5 \text{ ((2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2))} \\ 9 & 4 \text{ ((3,6), (4,5), (5,4), (6,3))} \\ 10 & 3 \text{ ((4,6), (5,5), (6,4))} \\ 11 & 2 \text{ ((5,6), (6,5))} \\ 12 & 1 \text{ ((6,6))} \\ \hline \end{array}

a) ¿Cuál es la probabilidad de que Juan gane lanzando una sola vez los dados?

Juan gana en el primer lanzamiento si la suma es $2$ o mayor que $7$ . Los casos favorables son:Suma $2$ : $1$ caso (1,1).Suma mayor que $7$ (es decir, $8, 9, 10, 11, 12$ ): $5+4+3+2+1 = 15$ casos.El número total de casos favorables para ganar en el primer lanzamiento es $1 + 15 = 16$ .La probabilidad de ganar en el primer lanzamiento, $P(G_1)$ , es:

P(G_1) = \frac{16}{36} = \frac{4}{9}

b) ¿Cuál es la probabilidad de que Juan gane en la segunda oportunidad?

Para que Juan gane en la segunda oportunidad, debe ocurrir que no gane en el primer lanzamiento Y gane en el segundo lanzamiento.La probabilidad de no ganar en el primer lanzamiento, $P(NG_1)$ , es el complemento de $P(G_1)$ :

P(NG_1) = 1 - P(G_1) = 1 - \frac{16}{36} = \frac{20}{36} = \frac{5}{9}

Alternativamente, los casos en los que no gana en el primer lanzamiento son aquellos en los que la suma es $3, 4, 5, 6$ o $7$ : $2+3+4+5+6 = 20$ casos.Juan gana en el segundo lanzamiento si la suma es mayor que $9$ (es decir, $10, 11, 12$ ). Los casos favorables son:Suma $10$ : $3$ casos.Suma $11$ : $2$ casos.Suma $12$ : $1$ caso.El número total de casos favorables para ganar en un lanzamiento con suma mayor que $9$ es $3+2+1 = 6$ .La probabilidad de ganar en un lanzamiento si la suma es mayor que $9$ , $P(G_2)$ , es:

P(G_2) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}

La probabilidad de que Juan gane en la segunda oportunidad es la probabilidad de no ganar en el primer lanzamiento y luego ganar en el segundo (los lanzamientos son eventos independientes):

P(\text{Gana en 2^{a} oportunidad}) = P(NG_1) \times P(G_2) = \frac{20}{36} \times \frac{6}{36} = \frac{5}{9} \times \frac{1}{6} = \frac{5}{54}

c) ¿Cuál es la probabilidad de que Juan gane?

Juan puede ganar de dos formas mutuamente excluyentes: ganando en el primer lanzamiento o ganando en la segunda oportunidad.La probabilidad total de que Juan gane es la suma de estas dos probabilidades:

P(\text{Gana}) = P(G_1) + P(\text{Gana en 2^{a} oportunidad})

P(\text{Gana}) = \frac{16}{36} + \frac{5}{54} = \frac{4}{9} + \frac{5}{54}

Para sumar las fracciones, encontramos un denominador común, que es $54$ :

P(\text{Gana}) = \frac{4 \times 6}{9 \times 6} + \frac{5}{54} = \frac{24}{54} + \frac{5}{54} = \frac{29}{54}