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T6: Teoría de muestras
Distribución de la media muestral y tamaño de muestra
Problema
2020 · Ordinaria · Titular
8
Examen

La renta anual de los hogares andaluces, en miles de euros, se distribuye según una ley Normal con desviación típica 5 y media desconocida μ\mu.

a) Si se desea que en el 99 % de las posibles muestras del mismo tamaño, elegidas de entre los hogares andaluces, la media muestral no difiera de la renta media anual poblacional de dichos hogares en más de una unidad, ¿cuál debe ser el tamaño mínimo de las muestras?b) Si se consideran muestras de hogares andaluces de tamaño 100, ¿qué distribución de probabilidad sigue la variable aleatoria 'Renta media anual muestral'?c) Suponiendo que la renta media anual poblacional de los hogares andaluces es μ=24\mu = 24, ¿cuál es la probabilidad de que en una muestra de tamaño 100 la renta media anual muestral sea superior a 25?
Tamaño muestral mínimoMedia muestralDistribución normal
Resolución del ejercicio de Inferencia Estadística: Distribución Normal

Sea XX la variable aleatoria que representa la renta anual de los hogares andaluces, la cual sigue una distribución Normal de parámetros desconocida media μ\mu y desviación típica σ=5\sigma = 5. Por tanto, X∼N(μ,5)X \sim N(\mu, 5).

a) Si se desea que en el 99 % de las posibles muestras del mismo tamaño la media muestral no difiera de la renta media poblacional en más de una unidad, el error máximo admisible es E=1E = 1 para un nivel de confianza del 99 %.

Calculamos el valor crítico zα/2z_{\alpha/2} correspondiente a un nivel de confianza del 99 %:

1−α=0,99  ⟹  α=0,01  ⟹  α2=0,0051 - \alpha = 0,99 \implies \alpha = 0,01 \implies \frac{\alpha}{2} = 0,005

Buscamos en la tabla de la Normal estándar el valor tal que P(Z≤zα/2)=1−0,005=0,995P(Z \leq z_{\alpha/2}) = 1 - 0,005 = 0,995, lo que nos da:

zα/2=2,575z_{\alpha/2} = 2,575

La fórmula del error para la media es E=zα/2⋅σnE = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}. Sustituimos los valores conocidos para despejar el tamaño muestral nn:

1≥2,575⋅5n  ⟹  n≥2,575⋅51 \geq 2,575 \cdot \frac{5}{\sqrt{n}} \implies \sqrt{n} \geq 2,575 \cdot 5
n≥12,875  ⟹  n≥12,8752≈165,7656\sqrt{n} \geq 12,875 \implies n \geq 12,875^2 \approx 165,7656

Por lo tanto, el tamaño mínimo de la muestra debe ser de n=166n = 166 hogares.

b) Si se consideran muestras de hogares andaluces de tamaño n=100n = 100, la distribución de probabilidad de la variable aleatoria 'Renta media anual muestral' (Xˉ\bar{X}) sigue una distribución Normal calculada como:
Xˉ∼N(μ,σn)\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)

Sustituyendo los valores σ=5\sigma = 5 y n=100n = 100, la desviación típica de la media muestral es:

σXˉ=5100=510=0,5\sigma_{\bar{X}} = \frac{5}{\sqrt{100}} = \frac{5}{10} = 0,5

La distribución que sigue la renta media anual muestral es:

Xˉ∼N(μ,0,5)\bar{X} \sim N(\mu, 0,5)
c) Suponiendo que la renta media anual poblacional es μ=24\mu = 24, para una muestra de tamaño n=100n = 100 tenemos que Xˉ∼N(24,0,5)\bar{X} \sim N(24, 0,5). Calculamos la probabilidad de que la renta media muestral sea superior a 25 tipificando la variable:
P(Xˉ>25)=P(Z>25−240,5)=P(Z>2)P(\bar{X} > 25) = P\left(Z > \frac{25 - 24}{0,5}\right) = P(Z > 2)

Utilizando las tablas de la distribución Normal estándar N(0,1)N(0, 1) y la propiedad del complementario:

P(Z>2)=1−P(Z≤2)=1−0,9772=0,0228P(Z > 2) = 1 - P(Z \leq 2) = 1 - 0,9772 = 0,0228

La probabilidad de que la renta media anual muestral sea superior a 25 es de 0,02280,0228 (un 2,28%2,28\%).