T1: Interacción gravitatoria

Campo gravitatorio

Problema

2017 · Ordinaria · Titular

1A-b

Dos partículas, de masas $m$ y $2m$ , se encuentran situadas en dos puntos del espacio separados una distancia $d$ .

b) Dos masas de

10 \text{ kg}

se encuentran situadas, respectivamente, en los puntos

(0,0) \text{ m}

(0,4) \text{ m}

. Represente en un esquema el campo gravitatorio que crean en el punto

(2,2) \text{ m}

y calcule su valor.

Dato: $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}$

Campo gravitatorioVectores

b) Cálculo del campo gravitatorio en el punto P=(2,2) m creado por las dos masas.

Las dos masas son $m_1 = m_2 = 10$ kg, situadas en $A=(0,0)$ m y $B=(0,4)$ m. El punto de interés es $P=(2,2)$ m.

Vectores de posición desde cada masa hasta P

Desde $m_1=(0,0)$ hasta $P=(2,2)$ :

\vec{r}_1 = (2-0)\,\hat{i} + (2-0)\,\hat{j} = 2\,\hat{i} + 2\,\hat{j} \text{ m}

r_1 = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \text{ m}

Desde $m_2=(0,4)$ hasta $P=(2,2)$ :

\vec{r}_2 = (2-0)\,\hat{i} + (2-4)\,\hat{j} = 2\,\hat{i} - 2\,\hat{j} \text{ m}

r_2 = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \text{ m}

Campo gravitatorio de cada masa en P

La expresión vectorial del campo gravitatorio creado por una masa $m_i$ en el punto P es:

\vec{g}_i = -\frac{G\,m_i}{r_i^2}\,\hat{r}_i

donde $\hat{r}_i$ es el vector unitario que apunta desde $m_i$ hacia P (el campo gravitatorio apunta hacia la masa, es decir, en sentido contrario).Como ambas masas son iguales ( $m_1 = m_2 = 10$ kg) y están a la misma distancia de P ( $r_1 = r_2 = 2\sqrt{2}$ m), el módulo del campo de cada una es:

g_1 = g_2 = \frac{G\,m}{r^2} = \frac{6{,}67\times10^{-11}\times 10}{(2\sqrt{2})^2} = \frac{6{,}67\times10^{-10}}{8}

g_1 = g_2 = 8{,}34\times10^{-11} \text{ N}\cdot\text{kg}^{-1}

Descomposición vectorial de cada campo

El campo gravitatorio apunta desde P hacia cada masa (sentido atractivo). Los vectores unitarios desde P hacia cada masa son:

\hat{u}_1 = -\hat{r}_1 = \frac{(-2,-2)}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}(-\hat{i} - \hat{j})

\hat{u}_2 = -\hat{r}_2 = \frac{(-2,+2)}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}(-\hat{i} + \hat{j})

Por tanto, los campos vectoriales son:

\vec{g}_1 = 8{,}34\times10^{-11}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}(-\hat{i} - \hat{j}) = \frac{8{,}34\times10^{-11}}{\sqrt{2}}(-\hat{i} - \hat{j}) \text{ N}\cdot\text{kg}^{-1}

\vec{g}_2 = 8{,}34\times10^{-11}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}(-\hat{i} + \hat{j}) = \frac{8{,}34\times10^{-11}}{\sqrt{2}}(-\hat{i} + \hat{j}) \text{ N}\cdot\text{kg}^{-1}

Campo gravitatorio total en P

\vec{g}_T = \vec{g}_1 + \vec{g}_2 = \frac{8{,}34\times10^{-11}}{\sqrt{2}}\left[(-\hat{i}-\hat{j})+(-\hat{i}+\hat{j})\right]

\vec{g}_T = \frac{8{,}34\times10^{-11}}{\sqrt{2}}\,(-2\hat{i}) = -\frac{2\times 8{,}34\times10^{-11}}{\sqrt{2}}\,\hat{i}

Las componentes en $\hat{j}$ se cancelan por simetría, ya que las dos masas están simétricas respecto a P en la dirección $y$ .

\vec{g}_T = -\frac{16{,}68\times10^{-11}}{\sqrt{2}}\,\hat{i} = -1{,}180\times10^{-10}\,\hat{i} \text{ N}\cdot\text{kg}^{-1}

El módulo del campo gravitatorio total en P es:

g_T = 1{,}18\times10^{-10} \text{ N}\cdot\text{kg}^{-1}

dirigido en la dirección $-x$ (hacia el eje $y$ donde se encuentran las masas), es decir, apuntando hacia el punto medio entre las dos masas $(0,2)$ m.