T5: Probabilidad · Propiedades de la probabilidad y sucesos — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2022

Propiedades de la probabilidad y sucesos

Problema

2022 · Extraordinaria · Titular

EJERCICIO 6

Sean $A$ y $B$ dos sucesos del mismo espacio muestral tales que:

P(A \cup B) = \frac{3}{7}, \quad P(A^C) = \frac{5}{7}, \quad P(B^C) = \frac{2}{3}

a) ¿Son

A

B

independientes? ¿Son

A

B

incompatibles?b) Calcule

P(A^C \cap B^C)

.c) Calcule

P(B/A^C)

Sucesos independientesSucesos incompatiblesProbabilidad

Primero, vamos a calcular las probabilidades de los sucesos $A$ y $B$ a partir de los datos proporcionados:

P(A^C) = \frac{5}{7} \Rightarrow P(A) = 1 - P(A^C) = 1 - \frac{5}{7} = \frac{2}{7}

P(B^C) = \frac{2}{3} \Rightarrow P(B) = 1 - P(B^C) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}

También se nos da $P(A \cup B) = \frac{3}{7}$ .

a) ¿Son

A

B

independientes? ¿Son

A

B

incompatibles?

Para responder a estas preguntas, primero necesitamos calcular $P(A \cap B)$ utilizando la fórmula de la probabilidad de la unión:

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

Despejamos $P(A \cap B)$ :

P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B)

P(A \cap B) = \frac{2}{7} + \frac{1}{3} - \frac{3}{7}

P(A \cap B) = \frac{6}{21} + \frac{7}{21} - \frac{9}{21}

P(A \cap B) = \frac{6 + 7 - 9}{21} = \frac{4}{21}

Ahora podemos determinar si son incompatibles e independientes.• ¿Son $A$ y $B$ incompatibles? Dos sucesos $A$ y $B$ son incompatibles si $P(A \cap B) = 0$ .Dado que $P(A \cap B) = \frac{4}{21} \neq 0$ , los sucesos $A$ y $B$ no son incompatibles.• ¿Son $A$ y $B$ independientes? Dos sucesos $A$ y $B$ son independientes si $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ .Calculamos el producto de las probabilidades individuales:

P(A) \cdot P(B) = \frac{2}{7} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{21}

Comparamos este valor con $P(A \cap B)$ :

P(A \cap B) = \frac{4}{21}

Dado que $P(A \cap B) = \frac{4}{21} \neq \frac{2}{21} = P(A) \cdot P(B)$ , los sucesos $A$ y $B$ no son independientes.

b) Calcule

P(A^C \cap B^C)

Podemos usar las leyes de De Morgan, que establecen que $A^C \cap B^C = (A \cup B)^C$ . Por lo tanto:

P(A^C \cap B^C) = P((A \cup B)^C) = 1 - P(A \cup B)

Sustituyendo el valor dado de $P(A \cup B)$ :

P(A^C \cap B^C) = 1 - \frac{3}{7} = \frac{4}{7}

c) Calcule

P(B/A^C)

La probabilidad condicional se define como $P(B/A^C) = \frac{P(B \cap A^C)}{P(A^C)}$ .Ya conocemos $P(A^C) = \frac{5}{7}$ .Necesitamos calcular $P(B \cap A^C)$ . Esto representa la probabilidad de que ocurra $B$ y no ocurra $A$ . Se puede expresar como $P(B) - P(A \cap B)$ .

P(B \cap A^C) = P(B) - P(A \cap B)

P(B \cap A^C) = \frac{1}{3} - \frac{4}{21}

P(B \cap A^C) = \frac{7}{21} - \frac{4}{21} = \frac{3}{21} = \frac{1}{7}

Ahora, sustituimos los valores en la fórmula de probabilidad condicional:

P(B/A^C) = \frac{P(B \cap A^C)}{P(A^C)} = \frac{\frac{1}{7}}{\frac{5}{7}}

P(B/A^C) = \frac{1}{5}