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T1: Matrices y determinantes
Propiedades de los determinantes
Problema
2021 · Ordinaria · Reserva
6
Examen

Considera la matriz A=(abcdef123)A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}, con determinante igual a 22.

a) Calcula razonadamente ∣13A−1At∣|\frac{1}{3} A^{-1} A^t|.b) Calcula razonadamente los determinantes
∣6c2b2a3fed921∣y∣2a−2bcb2d−2efe−232∣\begin{vmatrix} 6c & 2b & 2a \\ 3f & e & d \\ 9 & 2 & 1 \end{vmatrix} \quad \text{y} \quad \begin{vmatrix} 2a - 2b & c & b \\ 2d - 2e & f & e \\ -2 & 3 & 2 \end{vmatrix}
Matriz inversaMatriz traspuestaDeterminante
a) Calcula razonadamente ∣rac13A−1At∣|rac{1}{3} A^{-1} A^t|.

Dada la matriz AA de orden 3×33 \times 3 con det⁡(A)=2\det(A) = 2. Usaremos las siguientes propiedades de los determinantes:

1. \quad \det(kA) = k^n \det(A)$, donde $n \quad\text{es el orden de la matriz.}
2.det⁡(AB)=det⁡(A)det⁡(B)2. \quad \det(AB) = \det(A) \det(B)
3.det⁡(A−1)=1det⁡(A)3. \quad \det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}
4.det⁡(At)=det⁡(A)4. \quad \det(A^t) = \det(A)

Aplicamos estas propiedades al determinante pedido:

∣13A−1At∣=(13)3det⁡(A−1At)\left|\frac{1}{3} A^{-1} A^t\right| = \left(\frac{1}{3}\right)^3 \det(A^{-1} A^t)
=(13)3det⁡(A−1)det⁡(At)= \left(\frac{1}{3}\right)^3 \det(A^{-1}) \det(A^t)
=(13)3(1det⁡(A))det⁡(A)= \left(\frac{1}{3}\right)^3 \left(\frac{1}{\det(A)}\right) \det(A)
=(13)3⋅1=127= \left(\frac{1}{3}\right)^3 \cdot 1 = \frac{1}{27}

Por lo tanto, ∣rac13A−1At∣=rac127|rac{1}{3} A^{-1} A^t| = rac{1}{27}.

b) Calcula razonadamente los determinantes egin{vmatrix} 6c & 2b & 2a \ 3f & e & d \ 9 & 2 & 1 \end{vmatrix} \quad \text{y} \quad egin{vmatrix} 2a - 2b & c & b \ 2d - 2e & f & e \ -2 & 3 & 2 \end{vmatrix}
Primer determinante:
D1=∣6c2b2a3fed921∣D_1 = \begin{vmatrix} 6c & 2b & 2a \\ 3f & e & d \\ 9 & 2 & 1 \end{vmatrix}

Partiendo de \det(A) = egin{vmatrix} a & b & c \ d & e & f \ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 2. Aplicaremos las siguientes propiedades:

1.Si se multiplica una fila o columna por un escalar k, el determinante queda multiplicado por k.1. \quad \text{Si se multiplica una fila o columna por un escalar } k \text{, el determinante queda multiplicado por } k.
2.Si se intercambian dos filas o dos columnas, el determinante cambia de signo.2. \quad \text{Si se intercambian dos filas o dos columnas, el determinante cambia de signo.}

Desarrollamos el primer determinante D1D_1 mediante operaciones de columna/fila:

D1=∣6c2b2a3fed921∣=2∣3cba3fed921∣(sacando factor comuˊn 2 de R1)D_1 = \begin{vmatrix} 6c & 2b & 2a \\ 3f & e & d \\ 9 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 2 \begin{vmatrix} 3c & b & a \\ 3f & e & d \\ 9 & 2 & 1 \end{vmatrix} \quad (\text{sacando factor común } 2 \text{ de } R_1)
=2⋅3∣cbafed321∣(sacando factor comuˊn 3 de C1)= 2 \cdot 3 \begin{vmatrix} c & b & a \\ f & e & d \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} \quad (\text{sacando factor común } 3 \text{ de } C_1)
=6(−∣abcdef123∣)(intercambiando C1 y C3, lo que cambia el signo del determinante)= 6 \left( - \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} \right) \quad (\text{intercambiando } C_1 \text{ y } C_3 \text{, lo que cambia el signo del determinante})
=6(−det⁡(A))=6(−2)=−12= 6 \left( - \det(A) \right) = 6(-2) = -12
Segundo determinante:
D2=∣2a−2bcb2d−2efe−232∣D_2 = \begin{vmatrix} 2a - 2b & c & b \\ 2d - 2e & f & e \\ -2 & 3 & 2 \end{vmatrix}

Usaremos las propiedades anteriores y, adicionalmente, que el determinante no cambia si se suma a una columna (o fila) una combinación lineal de las otras columnas (o filas). Partimos de \det(A) = egin{vmatrix} a & b & c \ d & e & f \ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 2.

D2=∣2a−2bcb2d−2efe−232∣D_2 = \begin{vmatrix} 2a - 2b & c & b \\ 2d - 2e & f & e \\ -2 & 3 & 2 \end{vmatrix}
=−∣2a−2bbc2d−2eef−223∣(intercambiando C2 y C3, lo que cambia el signo)= - \begin{vmatrix} 2a - 2b & b & c \\ 2d - 2e & e & f \\ -2 & 2 & 3 \end{vmatrix} \quad (\text{intercambiando } C_2 \text{ y } C_3 \text{, lo que cambia el signo})

Ahora, realizamos la operación elemental de columna C1←C1+2C2C_1 \leftarrow C_1 + 2C_2 (esta operación no cambia el valor del determinante):

D2=−∣2a−2b+2bbc2d−2e+2eef−2+2(2)23∣=−∣2abc2def223∣D_2 = - \begin{vmatrix} 2a - 2b + 2b & b & c \\ 2d - 2e + 2e & e & f \\ -2 + 2(2) & 2 & 3 \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} 2a & b & c \\ 2d & e & f \\ 2 & 2 & 3 \end{vmatrix}

Sacamos factor común 22 de la primera columna:

D2=−2∣abcdef123∣=−2det⁡(A)D_2 = - 2 \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = - 2 \det(A)
=−2(2)=−4= - 2(2) = -4

Por lo tanto, el segundo determinante es −4-4.