T5: Probabilidad · Probabilidad condicionada y Teorema de Bayes — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2021

Probabilidad condicionada y Teorema de Bayes

Problema

2021 · Extraordinaria · Titular

En una población, se sabe que el $15 \%$ de las personas padece una determinada enfermedad. Si la persona está enferma, un test da positivo en el $92 \ \%$ de los casos, mientras que si la persona está sana, el test da positivo en el $4 \ \%$ de los casos (falso positivo). Se elige una persona al azar de esa población.

a) Calcule la probabilidad de que, habiendo dado positivo el test, la persona esté enferma.b) Calcule la probabilidad de que la persona esté enferma y el test salga negativo.c) Calcule la probabilidad de que saliendo el test negativo, la persona esté enferma.

Teorema de BayesProbabilidad totalSalud

Definimos los siguientes sucesos: $E$ : la persona está enferma. $S$ : la persona está sana (suceso complementario de $E$ ). Sabiendo que $P(E) = 0.15$ , entonces $P(S) = 1 - P(E) = 1 - 0.15 = 0.85$ . $P$ : el test da positivo. $N$ : el test da negativo (suceso complementario de $P$ ).Las probabilidades dadas son: $P(E) = 0.15$ $P(S) = 0.85$ $P(P|E) = 0.92$ $P(P|S) = 0.04$ A partir de estas probabilidades, podemos calcular las probabilidades de que el test dé negativo:

P(N|E) = 1 - P(P|E) = 1 - 0.92 = 0.08

P(N|S) = 1 - P(P|S) = 1 - 0.04 = 0.96

a) Calcule la probabilidad de que, habiendo dado positivo el test, la persona esté enferma.

Se pide calcular $P(E|P)$ . Para ello, usamos el Teorema de Bayes. Primero, calculamos la probabilidad total de que el test dé positivo, $P(P)$ :

P(P) = P(P|E) \cdot P(E) + P(P|S) \cdot P(S)

P(P) = (0.92)(0.15) + (0.04)(0.85)

P(P) = 0.138 + 0.034 = 0.172

Ahora aplicamos el Teorema de Bayes:

P(E|P) = \frac{P(P|E) \cdot P(E)}{P(P)}

P(E|P) = \frac{(0.92)(0.15)}{0.172} = \frac{0.138}{0.172} \approx 0.8023

b) Calcule la probabilidad de que la persona esté enferma y el test salga negativo.

Se pide calcular $P(E \cap N)$ . Usamos la definición de probabilidad condicionada:

P(E \cap N) = P(N|E) \cdot P(E)

P(E \cap N) = (0.08)(0.15) = 0.012

c) Calcule la probabilidad de que saliendo el test negativo, la persona esté enferma.

Se pide calcular $P(E|N)$ . Usamos la definición de probabilidad condicionada:

P(E|N) = \frac{P(E \cap N)}{P(N)}

Ya hemos calculado $P(E \cap N) = 0.012$ en el apartado b). Ahora, calculamos la probabilidad total de que el test dé negativo, $P(N)$ :

P(N) = P(N|E) \cdot P(E) + P(N|S) \cdot P(S)

P(N) = (0.08)(0.15) + (0.96)(0.85)

P(N) = 0.012 + 0.816 = 0.828

Finalmente, calculamos $P(E|N)$ :

P(E|N) = \frac{0.012}{0.828} \approx 0.0145