T1: Interacción gravitatoria

Órbitas circulares

Teoría

2016 · Extraordinaria · Suplente

1A-b

Dos satélites de igual masa, $m$ , describen órbitas circulares alrededor de un planeta de masa $M$ . Si el radio de una de las órbitas es el doble que el de la otra, razone la relación que existe entre los periodos de los dos satélites ¿Y entre sus velocidades?

Periodo orbitalVelocidad orbital

Satélites en órbitas circulares: relación de periodos y velocidades

Sea $r$ el radio de la órbita del primer satélite y $R = 2r$ el radio de la órbita del segundo satélite. Para un satélite en órbita circular, la fuerza gravitatoria proporciona la fuerza centrípeta necesaria:

\frac{GMm}{r^2} = m \frac{v^2}{r} = m \frac{4\pi^2 r}{T^2}

Relación entre los periodos (Tercera Ley de Kepler)

Despejando el periodo $T$ de la igualdad anterior:

\frac{GMm}{r^2} = m \frac{4\pi^2 r}{T^2} \implies T^2 = \frac{4\pi^2}{GM} r^3

Por tanto, $T^2 \propto r^3$ (Tercera Ley de Kepler). Aplicando esto a los dos satélites:

\frac{T_2^2}{T_1^2} = \frac{R^3}{r^3} = \frac{(2r)^3}{r^3} = 8

\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}

El satélite que orbita a mayor radio ( $R = 2r$ ) tiene un periodo $2\sqrt{2}$ veces mayor que el que orbita a radio $r$ . Esto es razonable: a mayor distancia, la velocidad es menor y la órbita más larga, por lo que el periodo crece.

Relación entre las velocidades orbitales

Despejando la velocidad orbital de la igualdad de fuerzas:

\frac{GMm}{r^2} = m \frac{v^2}{r} \implies v = \sqrt{\frac{GM}{r}}

Por tanto, $v \propto \dfrac{1}{\sqrt{r}}$ . Aplicando esto a los dos satélites:

\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{r}{R}} = \sqrt{\frac{r}{2r}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

El satélite que orbita a mayor radio ( $R = 2r$ ) tiene una velocidad $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ veces la del satélite interior, es decir, su velocidad es aproximadamente un $29\%$ menor. A mayor distancia al planeta, menor es la velocidad orbital necesaria para mantener la órbita circular.

Resumen

a) Relación de periodos:

\dfrac{T_2}{T_1} = 2\sqrt{2} \approx 2{,}83

b) Relación de velocidades:

\dfrac{v_2}{v_1} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \approx 0{,}71