T4: Funciones · Optimización — MATEMATICAS II PEvAU Andalucía 2022

Optimización

Problema

2022 · Ordinaria · Reserva

Se quiere cercar un trozo de terreno como el de la figura, de modo que el área del recinto central rectangular sea de $\frac{200}{\pi}$ metros cuadrados. Sabiendo que el coste de la cerca que se puede poner en los tramos rectos es de 10 euros por metro lineal, y en los tramos circulares de 20 euros por metro lineal, calcula las dimensiones $a$ y $b$ del terreno para las que se minimiza el coste del cercado.

OptimizaciónÁreasCoste

Cálculo de dimensiones para minimizar el coste de un cercado

El terreno está compuesto por un rectángulo central de dimensiones $a$ y $b$ , y dos semicírculos en los extremos cuyo diámetro es $b$ . Por lo tanto, el radio de los semicírculos es $R = b/2$ .

a) Formulación de la restricción del área.

El área del recinto central rectangular es $A = a \cdot b$ . Se nos da que esta área es de $rac{200}{\pi}$ metros cuadrados.

a \cdot b = \frac{200}{\pi}

Podemos expresar $a$ en función de $b$ :

a = \frac{200}{\pi b}

b) Formulación de la función de coste.

La cerca consta de dos tramos rectos de longitud $a$ cada uno y dos tramos circulares (dos semicírculos que forman una circunferencia completa) de radio $R = b/2$ .La longitud total de los tramos rectos es $2a$ . El coste de estos tramos es $10 \text{ euros/metro} \cdot 2a = 20a \text{ euros}$ .La longitud total de los tramos circulares (la circunferencia completa) es $2\pi R = 2\pi (b/2) = \pi b$ . El coste de estos tramos es $20 \text{ euros/metro} \cdot \pi b = 20\pi b \text{ euros}$ .La función de coste total $C(a, b)$ es la suma de los costes de los tramos rectos y circulares:

C(a, b) = 20a + 20\pi b

c) Minimización de la función de coste.

Sustituimos la expresión de $a$ de la restricción en la función de coste para tener una función de una sola variable $C(b)$ :

C(b) = 20\left(\frac{200}{\pi b}\right) + 20\pi b

C(b) = \frac{4000}{\pi b} + 20\pi b

Para encontrar el mínimo, calculamos la primera derivada de $C(b)$ con respecto a $b$ y la igualamos a cero:

C'(b) = \frac{d}{db}\left(\frac{4000}{\pi}b^{-1} + 20\pi b\right) = -\frac{4000}{\pi b^2} + 20\pi

C'(b) = 0 \implies -\frac{4000}{\pi b^2} + 20\pi = 0

20\pi = \frac{4000}{\pi b^2}

20\pi^2 b^2 = 4000

b^2 = \frac{4000}{20\pi^2} = \frac{200}{\pi^2}

b = \sqrt{\frac{200}{\pi^2}} = \frac{\sqrt{200}}{\pi} = \frac{10\sqrt{2}}{\pi}

Para verificar que este valor corresponde a un mínimo, calculamos la segunda derivada:

C''(b) = \frac{d}{db}\left(-\frac{4000}{\pi}b^{-2} + 20\pi\right) = -\frac{4000}{\pi}(-2)b^{-3} = \frac{8000}{\pi b^3}

Para $b = \frac{10\sqrt{2}}{\pi} > 0$ , la segunda derivada $C''(b) = \frac{8000}{\pi b^3}$ es positiva, lo que confirma que se trata de un mínimo.

d) Cálculo de la dimensión

a

Sustituimos el valor de $b$ encontrado en la expresión de $a$ :

a = \frac{200}{\pi b} = \frac{200}{\pi \left(\frac{10\sqrt{2}}{\pi}\right)}

a = \frac{200}{10\sqrt{2}} = \frac{20}{\sqrt{2}} = \frac{20\sqrt{2}}{2} = 10\sqrt{2}

e) Conclusión.

Las dimensiones que minimizan el coste del cercado son:

a = 10\sqrt{2} \text{ metros}

b = \frac{10\sqrt{2}}{\pi} \text{ metros}