Dado el límite:

Al evaluar el límite en $x=0$, el denominador es $0^2 = 0$. Para que el límite sea un valor finito (7), el numerador también debe ser 0. Esto resulta en una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$. Por lo tanto, podemos aplicar la Regla de L'Hôpital.Sea $f(x) = a(1 - \cos(x)) + b \text{ sen}(x) - 2(e^x - 1)$ y $g(x) = x^2$.Calculamos las primeras derivadas:

Aplicamos la Regla de L'Hôpital una vez:

Evaluamos el numerador en $x=0$: $a \text{ sen}(0) + b \cos(0) - 2e^0 = a(0) + b(1) - 2(1) = b - 2$. El denominador es $2(0) = 0$. Para que este límite exista y sea finito (para poder aplicar L'Hôpital de nuevo o para que el límite original sea 7), el numerador debe ser 0.

Ahora sustituimos $b=2$ en la expresión del límite y volvemos a aplicar la Regla de L'Hôpital, ya que seguimos teniendo una indeterminación $\frac{0}{0}$:

Calculamos las segundas derivadas:

Aplicamos la Regla de L'Hôpital por segunda vez:

Evaluamos el numerador en $x=0$: $a \cos(0) - 2 \text{ sen}(0) - 2e^0 = a(1) - 2(0) - 2(1) = a - 2$. El denominador es 2.Por lo tanto, el límite es:

Dado que el límite es igual a 7:

Los valores de $a$ y $b$ son: