T2: Interacción electromagnética

Magnetismo

Problema

2018 · Ordinaria · Suplente

2A-b

b) Suponga dos hilos metálicos largos, rectilíneos y paralelos, por los que circulan corrientes en el mismo sentido con intensidades

I_1 = 1 \text{ A}

I_2 = 2 \text{ A}

. Si entre dichos hilos hay una separación de

20 \text{ cm}

, calcule el vector campo magnético a

5 \text{ cm}

a la izquierda del primer hilo metálico.

Dato: $\mu_0 = 4 \pi \cdot 10^{-7} \text{ N} \cdot \text{A}^{-2}$

Campo magnéticoLey de Ampère

Situamos los hilos en el eje horizontal. El hilo 1 (con $I_1 = 1$ A) está a la izquierda y el hilo 2 (con $I_2 = 2$ A) está a la derecha, separados 20 cm. Ambas corrientes circulan en el mismo sentido, que tomamos como entrante en la pantalla (dirección $-z$ , es decir, $\otimes$ ).El punto P se encuentra 5 cm a la izquierda del hilo 1, por lo que está a:

Distancia de P al hilo 1:

r_1 = 5 \text{ cm} = 0{,}05 \text{ m}

Distancia de P al hilo 2:

r_2 = 20 + 5 = 25 \text{ cm} = 0{,}25 \text{ m}

Campo magnético generado por un hilo infinito

B = \frac{\mu_0 \, I}{2\pi \, r}

La dirección del campo se determina con la regla de la mano derecha. Como las corrientes son entrantes ( $\otimes$ , en dirección $-z$ ), usamos la regla de la mano izquierda o aplicamos directamente: el campo gira en sentido horario alrededor de cada hilo.

Campo del hilo 1 en el punto P

El punto P está a la izquierda del hilo 1. Para una corriente entrante ( $-z$ ), el campo en un punto a la izquierda del hilo apunta hacia abajo ( $-y$ ).

B_1 = \frac{\mu_0 \, I_1}{2\pi \, r_1} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 1}{2\pi \times 0{,}05} = \frac{4\pi \times 10^{-7}}{0{,}1\pi} = 4 \times 10^{-6} \text{ T}

Dirección y sentido: Para corriente en $-z$ y punto a la izquierda del hilo, $\vec{B}_1$ apunta en la dirección $-\hat{j}$ (hacia abajo).

\vec{B}_1 = -4 \times 10^{-6} \, \hat{j} \text{ T}

Campo del hilo 2 en el punto P

El punto P está a la izquierda del hilo 2 (a 25 cm). Para corriente entrante ( $-z$ ) y punto a la izquierda del hilo, el campo también apunta hacia abajo ( $-\hat{j}$ ).

B_2 = \frac{\mu_0 \, I_2}{2\pi \, r_2} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 2}{2\pi \times 0{,}25} = \frac{8\pi \times 10^{-7}}{0{,}5\pi} = 1{,}6 \times 10^{-6} \text{ T}

\vec{B}_2 = -1{,}6 \times 10^{-6} \, \hat{j} \text{ T}

Campo magnético total en el punto P

Ambos campos apuntan en el mismo sentido ( $-\hat{j}$ ), por lo que se suman:

\vec{B}_{total} = \vec{B}_1 + \vec{B}_2 = (-4 \times 10^{-6} - 1{,}6 \times 10^{-6})\,\hat{j}

\boxed{\vec{B}_{total} = -5{,}6 \times 10^{-6} \, \hat{j} \text{ T}}

El campo magnético resultante en el punto P tiene módulo $5{,}6 \times 10^{-6}$ T y apunta en la dirección vertical hacia abajo ( $-\hat{j}$ ).