T5: Integrales · Áreas — MATEMATICAS II PEvAU Andalucía 2022

Áreas

Problema

2022 · Extraordinaria · Suplente

Considera las funciones $f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definidas por $f(x) = x^2$ y $g(x) = a|x|$ , con $a > 0$ . Determina el valor de $a$ para que el área total de los recintos limitados por las gráficas de ambas funciones sea de $9$ unidades cuadradas.

Área entre curvasValor absolutoIntegral definida

Las funciones dadas son $f(x) = x^2$ y $g(x) = a|x|$ , con $a > 0$ . Ambas funciones son simétricas respecto al eje $y$ . Por lo tanto, el área total se puede calcular como el doble del área en el semiplano derecho ( $x \ge 0$ ).Para $x \ge 0$ , la función $g(x)$ se convierte en $g(x) = ax$ . Buscamos los puntos de intersección de ambas funciones en $x \ge 0$ :

f(x) = g(x) \\ x^2 = ax \\ x^2 - ax = 0 \\ x(x - a) = 0

Los puntos de intersección en $x \ge 0$ son $x = 0$ y $x = a$ . Debido a la simetría, los puntos de intersección en $\mathbb{R}$ son $x = -a$ , $x = 0$ y $x = a$ .Para determinar qué función está por encima de la otra en el intervalo $(0, a)$ , podemos evaluar un punto intermedio, por ejemplo $x = a/2$ :

f\left(\frac{a}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{4} \\ g\left(\frac{a}{2}\right) = a\left(\frac{a}{2}\right) = \frac{a^2}{2}

Como $a > 0$ , tenemos que $a^2/2 > a^2/4$ . Esto significa que $g(x) \ge f(x)$ en el intervalo $[0, a]$ .El área de uno de los recintos (el del semiplano derecho) se calcula mediante la integral definida:

A_{\text{derecha}} = \int_0^a (g(x) - f(x)) dx = \int_0^a (ax - x^2) dx

Calculamos la integral:

\int_0^a (ax - x^2) dx = \left[ \frac{ax^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^a \\ = \left( \frac{a(a)^2}{2} - \frac{(a)^3}{3} \right) - \left( \frac{a(0)^2}{2} - \frac{(0)^3}{3} \right) \\ = \frac{a^3}{2} - \frac{a^3}{3} = \frac{3a^3 - 2a^3}{6} = \frac{a^3}{6}

El área total es el doble de esta cantidad debido a la simetría:

A_{\text{total}} = 2 \cdot A_{\text{derecha}} = 2 \cdot \frac{a^3}{6} = \frac{a^3}{3}

Se nos dice que el área total es de $9$ unidades cuadradas. Igualamos la expresión del área a $9$ y resolvemos para $a$ :

\frac{a^3}{3} = 9 \\ a^3 = 27 \\ a = \sqrt[3]{27} \\ a = 3

El valor de $a$ para que el área total sea de $9$ unidades cuadradas es $a=3$ , que cumple la condición $a > 0$ .