T3: Vibraciones y ondas

Velocidad de oscilación y fase

Problema

2016 · Extraordinaria · Titular

4A-b

Una onda se propaga en un medio material según la ecuación:

y(x,t) = 0,2 \sin \left( 2\pi \left( 50 t - \frac{x}{0,1} \right) \right) \text{ (S.I.)}

b) Determine la máxima velocidad de oscilación de las partículas del medio y calcule la diferencia de fase, en un mismo instante, entre dos puntos que distan entre sí 2,5 cm.

Velocidad de oscilaciónDiferencia de fase

Identificamos los parámetros de la ecuación de onda comparando con la forma general $y(x,t) = A \sin(2\pi(ft - x/\lambda))$ :

A = 0{,}2 \text{ m}, \quad f = 50 \text{ Hz}, \quad \lambda = 0{,}1 \text{ m}

b) Máxima velocidad de oscilación de las partículas:

La velocidad de oscilación de una partícula se obtiene derivando el desplazamiento respecto al tiempo:

v_y(x,t) = \frac{\partial y}{\partial t} = A \cdot 2\pi f \cdot \cos\left(2\pi\left(50t - \frac{x}{0{,}1}\right)\right)

La velocidad es máxima cuando el coseno vale 1, por tanto:

v_{y,\text{máx}} = A \cdot 2\pi f = 0{,}2 \cdot 2\pi \cdot 50

v_{y,\text{máx}} = 0{,}2 \cdot 100\pi = 20\pi \approx 62{,}8 \text{ m/s}

b) Diferencia de fase entre dos puntos separados

\Delta x = 2{,}5 \text{ cm} = 0{,}025 \text{ m}

La diferencia de fase entre dos puntos $x_1$ y $x_2$ en el mismo instante $t$ viene dada por:

\Delta\phi = \phi_1 - \phi_2 = 2\pi\left(50t - \frac{x_1}{0{,}1}\right) - 2\pi\left(50t - \frac{x_2}{0{,}1}\right)

\Delta\phi = 2\pi \cdot \frac{x_2 - x_1}{0{,}1} = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \Delta x

Sustituyendo los valores:

\Delta\phi = \frac{2\pi}{0{,}1} \cdot 0{,}025 = 2\pi \cdot 0{,}25 = \frac{\pi}{2} \text{ rad}

Esto tiene sentido porque $\Delta x = 0{,}025 \text{ m} = \lambda/4$ , y un cuarto de longitud de onda corresponde exactamente a una diferencia de fase de $\pi/2$ rad $(90^\circ)$ .