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T4: Funciones
Optimización e Integración
Problema
2022 · Ordinaria · Titular
3
Examen
BLOQUE B
a) Se considera la función f(x)=x3+ax2+bx+cf(x) = x^3 + ax^2 + bx + c, con a,ba, b y cc números reales. Calcule los valores a,ba, b y cc, sabiendo que la gráfica de ff posee un extremo relativo en el punto de abscisa x=3x = 3 y que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de ff en el punto P(0,18)P(0,18) es −3-3.b) Calcule el área del recinto acotado, limitado por la gráfica de la función g(x)=x3−4x2−3x+18g(x) = x^3 - 4x^2 - 3x + 18 y el eje de abscisas.
DerivadasExtremos relativosCálculo de áreas+1
a) Calcule los valores a,ba, b y cc, sabiendo que la gráfica de ff posee un extremo relativo en el punto de abscisa x=3x = 3 y que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de ff en el punto P(0,18)P(0,18) es −3-3.

La función dada es f(x)=x3+ax2+bx+cf(x) = x^3 + ax^2 + bx + c. Su derivada es f′(x)=3x2+2ax+bf'(x) = 3x^2 + 2ax + b.Utilizamos las condiciones dadas:1. La gráfica de ff pasa por el punto P(0,18)P(0,18), lo que implica que f(0)=18f(0) = 18.

f(0)=03+a(0)2+b(0)+c=18⇒c=18f(0) = 0^3 + a(0)^2 + b(0) + c = 18 \Rightarrow c = 18

2. La pendiente de la recta tangente a la gráfica de ff en el punto P(0,18)P(0,18) es −3-3, lo que significa que f′(0)=−3f'(0) = -3.

f′(0)=3(0)2+2a(0)+b=−3⇒b=−3f'(0) = 3(0)^2 + 2a(0) + b = -3 \Rightarrow b = -3

3. La gráfica de ff posee un extremo relativo en el punto de abscisa x=3x = 3, lo que implica que f′(3)=0f'(3) = 0.

f′(3)=3(3)2+2a(3)+b=027+6a+b=0f'(3) = 3(3)^2 + 2a(3) + b = 0 \\ 27 + 6a + b = 0

Sustituimos el valor de b=−3b = -3 en la ecuación:

27+6a−3=024+6a=06a=−24a=−427 + 6a - 3 = 0 \\ 24 + 6a = 0 \\ 6a = -24 \\ a = -4

Por lo tanto, los valores de las constantes son a=−4a = -4, b=−3b = -3 y c=18c = 18.

b) Calcule el área del recinto acotado, limitado por la gráfica de la función g(x)=x3−4x2−3x+18g(x) = x^3 - 4x^2 - 3x + 18 y el eje de abscisas.

Para calcular el área, primero necesitamos encontrar los puntos de corte de la función g(x)g(x) con el eje de abscisas (es decir, las raíces de g(x)g(x)). Igualamos g(x)=0g(x) = 0:

x3−4x2−3x+18=0x^3 - 4x^2 - 3x + 18 = 0

Probamos con divisores enteros de 18 (por el Teorema de la Raíz Racional). Si x=−2x=-2:

g(−2)=(−2)3−4(−2)2−3(−2)+18g(−2)=−8−4(4)+6+18g(−2)=−8−16+6+18=0g(-2) = (-2)^3 - 4(-2)^2 - 3(-2) + 18 \\ g(-2) = -8 - 4(4) + 6 + 18 \\ g(-2) = -8 - 16 + 6 + 18 = 0

Así, x=−2x = -2 es una raíz. Dividimos el polinomio por (x+2)(x+2) usando la regla de Ruffini:

−1−4−318−21−212−18−1−690\begin{array}{c|cccc} \phantom{-} & 1 & -4 & -3 & 18 \\ -2 & \phantom{1} & -2 & 12 & -18 \\ \hline \phantom{-} & 1 & -6 & 9 & 0 \end{array}

El cociente es x2−6x+9x^2 - 6x + 9, que es un trinomio cuadrado perfecto: (x−3)2(x-3)^2.Por lo tanto, la función factorizada es g(x)=(x+2)(x−3)2g(x) = (x+2)(x-3)^2. Las raíces son x=−2x = -2 y x=3x = 3 (raíz doble).El recinto acotado está limitado por x=−2x = -2 y x=3x = 3. En el intervalo [−2,3][-2, 3], el factor (x−3)2(x-3)^2 es no negativo y el factor (x+2)(x+2) es no negativo. Por lo tanto, g(x)≥0g(x) \ge 0 en este intervalo.El área se calcula mediante la integral definida:

Aˊrea=∫−23(x3−4x2−3x+18)dx\text{Área} = \int_{-2}^{3} (x^3 - 4x^2 - 3x + 18) dx

Calculamos la integral indefinida:

∫(x3−4x2−3x+18)dx=x44−4x33−3x22+18x+C\int (x^3 - 4x^2 - 3x + 18) dx = \frac{x^4}{4} - \frac{4x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 18x + C

Ahora evaluamos la integral definida utilizando la Regla de Barrow:

Aˊrea=[x44−4x33−3x22+18x]−23\text{Área} = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{4x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 18x \right]_{-2}^{3}
Aˊrea=(344−4(33)3−3(32)2+18(3))−((−2)44−4(−2)33−3(−2)22+18(−2))\text{Área} = \left( \frac{3^4}{4} - \frac{4(3^3)}{3} - \frac{3(3^2)}{2} + 18(3) \right) - \left( \frac{(-2)^4}{4} - \frac{4(-2)^3}{3} - \frac{3(-2)^2}{2} + 18(-2) \right)
Aˊrea=(814−4(27)3−3(9)2+54)−(164−4(−8)3−3(4)2−36)\text{Área} = \left( \frac{81}{4} - \frac{4(27)}{3} - \frac{3(9)}{2} + 54 \right) - \left( \frac{16}{4} - \frac{4(-8)}{3} - \frac{3(4)}{2} - 36 \right)
Aˊrea=(814−36−272+54)−(4+323−6−36)\text{Área} = \left( \frac{81}{4} - 36 - \frac{27}{2} + 54 \right) - \left( 4 + \frac{32}{3} - 6 - 36 \right)
Aˊrea=(814−544+724)−(323−38)\text{Área} = \left( \frac{81}{4} - \frac{54}{4} + \frac{72}{4} \right) - \left( \frac{32}{3} - 38 \right)
Aˊrea=(81−54+724)−(32−1143)\text{Área} = \left( \frac{81 - 54 + 72}{4} \right) - \left( \frac{32 - 114}{3} \right)
Aˊrea=994−(−823)\text{Área} = \frac{99}{4} - \left( \frac{-82}{3} \right)
Aˊrea=994+823\text{Área} = \frac{99}{4} + \frac{82}{3}
Aˊrea=99⋅3+82⋅412=297+32812=62512\text{Área} = \frac{99 \cdot 3 + 82 \cdot 4}{12} = \frac{297 + 328}{12} = \frac{625}{12}

El área del recinto acotado es 62512\frac{625}{12} unidades de área.