T4: Funciones · Análisis de funciones — MATEMATICAS II PEvAU Andalucía 2023

Análisis de funciones

Problema

2023 · Extraordinaria · Titular

BLOQUE A

Sea la función $f : [-2, 2\pi] \longrightarrow \mathbb{R}$ , definida por:

f(x) = \begin{cases} 5x + 1 & \text{si } -2 \leq x \leq 0 \\ e^x \cos(x) & \text{si } 0 < x \leq 2\pi \end{cases}

a) Halla los extremos relativos y absolutos de

f

(abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).b) Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de

f

en el punto de abscisa

x = \frac{\pi}{2}

ExtremosRecta tangenteFunción a trozos

Resolución de la función definida a trozos

En primer lugar, comprobamos la continuidad de la función en el punto de unión $x = 0$ :

\lim_{x \to 0^-} (5x + 1) = 1; \quad \lim_{x \to 0^+} e^x \cos(x) = e^0 \cos(0) = 1; \quad f(0) = 1

Al ser los límites laterales iguales al valor de la función, $f(x)$ es continua en $x = 0$ y, por tanto, en todo su dominio $[-2, 2\pi]$ .

a) Halla los extremos relativos y absolutos de

f

(abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Calculamos la derivada de la función en los intervalos abiertos:

f'(x) = \begin{cases} 5 & \text{si } -2 < x < 0 \\ e^x(\cos(x) - \sin(x)) & \text{si } 0 < x < 2\pi \end{cases}

Para hallar los extremos relativos, buscamos los puntos donde $f'(x) = 0$ en el intervalo $(0, 2\pi)$ (en el primer tramo la derivada es constante e igual a 5):

e^x(\cos(x) - \sin(x)) = 0 \implies \cos(x) = \sin(x) \implies \tan(x) = 1

Las soluciones en el intervalo $(0, 2\pi)$ son $x = \frac{\pi}{4}$ y $x = \frac{5\pi}{4}$ .Estudiamos la naturaleza de estos puntos y el comportamiento en $x=0$ (donde la función no es derivable ya que $f'(0^-)=5 \neq f'(0^+)=1$ ):En $x = \frac{\pi}{4}$ : Para $x < \frac{\pi}{4}$ , $f'(x) > 0$ y para $x > \frac{\pi}{4}$ , $f'(x) < 0$ . Hay un máximo relativo en $(\frac{\pi}{4}, \frac{\sqrt{2}}{2}e^{\pi/4})$ .En $x = \frac{5\pi}{4}$ : Para $x < \frac{5\pi}{4}$ , $f'(x) < 0$ y para $x > \frac{5\pi}{4}$ , $f'(x) > 0$ . Hay un mínimo relativo en $(\frac{5\pi}{4}, -\frac{\sqrt{2}}{2}e^{5\pi/4})$ .Para los extremos absolutos, comparamos los valores en los extremos del intervalo, el punto de no derivabilidad y los extremos relativos:

f(-2) = -9

f(0) = 1

f(\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2}e^{\pi/4} \approx 1,55

f(5\pi/4) = -\frac{\sqrt{2}}{2}e^{5\pi/4} \approx -35,98

f(2\pi) = e^{2\pi} \cos(2\pi) = e^{2\pi} \approx 535,49

El máximo absoluto se alcanza en $x = 2\pi$ con un valor de $e^{2\pi}$ .El mínimo absoluto se alcanza en $x = \frac{5\pi}{4}$ con un valor de $-\frac{\sqrt{2}}{2}e^{5\pi/4}$ .

b) Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de

f

en el punto de abscisa

x = \frac{\pi}{2}

La ecuación de la recta tangente en $x = a$ viene dada por $y - f(a) = f'(a)(x - a)$ . Calculamos los valores para $a = \frac{\pi}{2}$ usando el segundo tramo de la función:

f(\pi/2) = e^{\pi/2} \cos(\pi/2) = e^{\pi/2} \cdot 0 = 0

f'(\pi/2) = e^{\pi/2}(\cos(\pi/2) - \sin(\pi/2)) = e^{\pi/2}(0 - 1) = -e^{\pi/2}

Sustituimos en la fórmula:

y - 0 = -e^{\pi/2}(x - \frac{\pi}{2})

La ecuación de la recta tangente es:

y = -e^{\pi/2}x + \frac{\pi}{2}e^{\pi/2}