T6: Teoría de muestras · Estimación y proporciones — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2021

Estimación y proporciones

Problema

2021 · Extraordinaria · Suplente

BLOQUE D

a) En una población constituida por los números naturales del 1 al 9, ¿cuántas muestras de tamaño 2 se pueden formar por muestreo aleatorio simple? Si se elige al azar una de esas muestras, ¿cuál es la probabilidad de que el valor medio de los dos números de esa muestra sea 5?b) Para estimar la proporción de andaluces contagiados por una enfermedad infecciosa en un momento determinado, se ha tomado una muestra de 10 000 personas, resultando que 500 de ellas estaban infectadas.1. Con ese dato, establezca un intervalo, al 97 % de confianza, para la proporción real de infectados en la población andaluza.2. A la vista del intervalo obtenido, razone si se podría aceptar que el 6 % de la población andaluza estaba infectada.3. Se toma una nueva muestra de mayor tamaño y resulta que hay la misma proporción de positivos en la nueva muestra. Con estos nuevos datos, razone si el nuevo intervalo al 97 % de confianza contiene al intervalo anterior o está contenido en él.

Intervalo de confianzaMuestreo aleatorioProporción poblacional

Para calcular el número de muestras de tamaño 2 que se pueden formar a partir de una población de 9 números, se utiliza la fórmula de combinaciones sin repetición, ya que el orden de los números en la muestra no importa y los números no se pueden repetir (muestreo sin reemplazo).

N = 9 \text{ (tamaño de la población)} \\ n = 2 \text{ (tamaño de la muestra)} \\ \text{Número de muestras} = \binom{N}{n} = \binom{9}{2}

\binom{9}{2} = \frac{9!}{2!(9-2)!} = \frac{9!}{2!7!} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36

Se pueden formar 36 muestras de tamaño 2.Para que el valor medio de los dos números de la muestra sea 5, la suma de los dos números debe ser $2 \times 5 = 10$ . Las posibles parejas de números de la población {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} que suman 10 son:1. (1, 9)2. (2, 8)3. (3, 7)4. (4, 6)Hay 4 muestras favorables. La probabilidad de que el valor medio sea 5 es el número de muestras favorables dividido por el número total de muestras posibles.

P(\text{media} = 5) = \frac{\text{Número de muestras con media 5}}{\text{Número total de muestras}} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}

b) Para estimar la proporción de andaluces contagiados por una enfermedad infecciosa en un momento determinado, se ha tomado una muestra de 10 000 personas, resultando que 500 de ellas estaban infectadas.1. Con ese dato, establezca un intervalo, al 97 % de confianza, para la proporción real de infectados en la población andaluza.

Datos:Tamaño de la muestra ( $n$ ) = 10 000 Número de infectados ( $x$ ) = 500 Nivel de confianza ( $1-\alpha$ ) = 97 % = 0.97 La proporción muestral ( $\hat{p}$ ) es:

\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{500}{10000} = 0.05

Entonces, $\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.05 = 0.95$ .Para el nivel de confianza del 97 %, $1 - \alpha = 0.97$ , lo que implica $\alpha = 0.03$ y $\alpha/2 = 0.015$ . Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2} = z_{0.015}$ .Sabemos que $P(Z \le z_{0.015}) = 1 - 0.015 = 0.985$ . Consultando la tabla de la distribución normal estándar, encontramos que $z_{0.015} \approx 2.17$ .El intervalo de confianza para la proporción ( $p$ ) se calcula con la fórmula:

IC = \left( \hat{p} - z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}}, \hat{p} + z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}} \right)

Sustituyendo los valores:

IC = \left( 0.05 - 2.17 \sqrt{\frac{0.05 \times 0.95}{10000}}, 0.05 + 2.17 \sqrt{\frac{0.05 \times 0.95}{10000}} \right)

\sqrt{\frac{0.05 \times 0.95}{10000}} = \sqrt{\frac{0.0475}{10000}} = \sqrt{0.00000475} \approx 0.0021794

2.17 \times 0.0021794 \approx 0.0047303

IC = (0.05 - 0.0047303, 0.05 + 0.0047303)

IC \approx (0.04527, 0.05473)

El intervalo de confianza al 97 % para la proporción real de infectados es aproximadamente $(0.04527, 0.05473)$ .

2. A la vista del intervalo obtenido, razone si se podría aceptar que el 6 % de la población andaluza estaba infectada.

El intervalo de confianza calculado es $(0.04527, 0.05473)$ . El 6 % de la población corresponde a una proporción de 0.06.Observamos que 0.06 no se encuentra dentro de este intervalo, ya que $0.06 > 0.05473$ . Por lo tanto, con un nivel de confianza del 97 %, no se podría aceptar que el 6 % de la población andaluza estuviera infectada.

3. Se toma una nueva muestra de mayor tamaño y resulta que hay la misma proporción de positivos en la nueva muestra. Con estos nuevos datos, razone si el nuevo intervalo al 97 % de confianza contiene al intervalo anterior o está contenido en él.

Sea $n_1$ el tamaño de la primera muestra y $n_2$ el tamaño de la nueva muestra. Se nos dice que $n_2 > n_1$ .La proporción de positivos ( $\hat{p}$ ) es la misma en ambas muestras ( $0.05$ ). El nivel de confianza también es el mismo (97 %), por lo que el valor crítico $z_{\alpha/2}$ es idéntico.El margen de error ( $E$ ) de un intervalo de confianza para una proporción viene dado por:

E = z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}}

Dado que $\hat{p}$ , $\hat{q}$ y $z_{\alpha/2}$ son los mismos para ambas muestras, el margen de error depende inversamente de la raíz cuadrada del tamaño de la muestra ( $n$ ). Si el tamaño de la muestra aumenta ( $n_2 > n_1$ ), entonces la expresión $\sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}}$ disminuirá.Esto significa que el nuevo margen de error ( $E_2$ ) será menor que el margen de error anterior ( $E_1$ ). Un menor margen de error implica un intervalo de confianza más estrecho (más preciso).Como la proporción muestral ( $\hat{p}$ ) es la misma, el centro del intervalo de confianza no cambia. Un intervalo de confianza más estrecho, centrado en el mismo punto, estará contenido dentro del intervalo anterior. Por lo tanto, el nuevo intervalo de confianza estará contenido en el intervalo anterior.