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T4: Funciones
Derivadas y asíntotas
Problema
2021 · Extraordinaria · Suplente
2A
Examen
EJERCICIO 2

Sea ff la función definida por

f(x) = \frac{ax^2 + b}{a - x} \text{ (para } x \neq a)
a) Halla aa y bb sabiendo que la gráfica de ff pasa por el punto (2,3)(2, 3) y tiene una asíntota oblicua cuya pendiente vale −4-4.b) Para a=2a = 2 y b=3b = 3, calcula las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de ff en el punto de abscisa x=1x = 1.
AsíntotasRecta tangenteRecta normal
a) Halla aa y bb sabiendo que la gráfica de ff pasa por el punto (2,3)(2, 3) y tiene una asíntota oblicua cuya pendiente vale −4-4.

La función dada es f(x)=ax2+ba−xf(x) = \frac{ax^2 + b}{a - x}.1. La gráfica de ff pasa por el punto (2,3)(2, 3):

f(2)=3  ⟹  a(22)+ba−2=3f(2) = 3 \implies \frac{a(2^2) + b}{a - 2} = 3
4a+ba−2=3  ⟹  4a+b=3(a−2)\frac{4a + b}{a - 2} = 3 \implies 4a + b = 3(a - 2)
4a+b=3a−6  ⟹  a+b=−6(Ecuacioˊn 1)4a + b = 3a - 6 \implies a + b = -6 \quad \text{(Ecuación 1)}

2. La función tiene una asíntota oblicua cuya pendiente es m=−4m = -4.La pendiente de la asíntota oblicua se calcula como m=lim⁡x→∞f(x)xm = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}.

m=lim⁡x→∞ax2+ba−xx=lim⁡x→∞ax2+bx(a−x)=lim⁡x→∞ax2+bax−x2m = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{ax^2 + b}{a - x}}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{ax^2 + b}{x(a - x)} = \lim_{x \to \infty} \frac{ax^2 + b}{ax - x^2}

Dado que el grado del numerador y el denominador es el mismo (2), la pendiente es el cociente de los coeficientes de los términos de mayor grado:

m=a−1=−am = \frac{a}{-1} = -a

Se nos da que m=−4m = -4:

−a=−4  ⟹  a=4-a = -4 \implies a = 4

Sustituimos el valor de aa en la Ecuación 1 para hallar bb:

4+b=−6  ⟹  b=−6−4  ⟹  b=−104 + b = -6 \implies b = -6 - 4 \implies b = -10

Por lo tanto, los valores son a=4a = 4 y b=−10b = -10.

b) Para a=2a = 2 y b=3b = 3, calcula las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de ff en el punto de abscisa x=1x = 1.

Con a=2a = 2 y b=3b = 3, la función es f(x)=2x2+32−xf(x) = \frac{2x^2 + 3}{2 - x}.1. Punto de tangencia:

x0=1x_0 = 1
y0=f(1)=2(1)2+32−1=2+31=5y_0 = f(1) = \frac{2(1)^2 + 3}{2 - 1} = \frac{2 + 3}{1} = 5

El punto de tangencia es (1,5)(1, 5).2. Pendiente de la recta tangente:Calculamos la derivada de f(x)f(x) usando la regla del cociente:

f′(x)=(4x)(2−x)−(2x2+3)(−1)(2−x)2f'(x) = \frac{(4x)(2 - x) - (2x^2 + 3)(-1)}{(2 - x)^2}
f′(x)=8x−4x2+2x2+3(2−x)2f'(x) = \frac{8x - 4x^2 + 2x^2 + 3}{(2 - x)^2}
f′(x)=−2x2+8x+3(2−x)2f'(x) = \frac{-2x^2 + 8x + 3}{(2 - x)^2}

Evaluamos f′(x)f'(x) en x=1x = 1 para obtener la pendiente de la recta tangente (mtm_t):

mt=f′(1)=−2(1)2+8(1)+3(2−1)2=−2+8+312=91=9m_t = f'(1) = \frac{-2(1)^2 + 8(1) + 3}{(2 - 1)^2} = \frac{-2 + 8 + 3}{1^2} = \frac{9}{1} = 9

3. Ecuación de la recta tangente:Usamos la forma punto-pendiente y−y0=mt(x−x0)y - y_0 = m_t(x - x_0):

y−5=9(x−1)y - 5 = 9(x - 1)
y−5=9x−9y - 5 = 9x - 9
y=9x−4y = 9x - 4

4. Ecuación de la recta normal:La pendiente de la recta normal (mnm_n) es la opuesta de la inversa de la pendiente de la recta tangente:

mn=−1mt=−19m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{9}

Usamos la forma punto-pendiente para la recta normal:

y−5=−19(x−1)y - 5 = -\frac{1}{9}(x - 1)
9(y−5)=−(x−1)9(y - 5) = -(x - 1)
9y−45=−x+19y - 45 = -x + 1
x+9y−46=0x + 9y - 46 = 0