Para representar la región, primero transformamos las inecuaciones en igualdades para obtener las rectas que delimitan el recinto:$r_1: x + y = 4$ $r_2: x - y = -2$ $r_3: x + 3y = 2$ $r_4: y = 2$ Calculamos los puntos de intersección de estas rectas para hallar los vértices de la región factible, asegurándonos de que cumplan el resto de restricciones:Vértice $B$: Intersección de $r_1$ y $r_4$ $x + 2 = 4 \Rightarrow x = 2$. Luego, $B = (2, 2)$.Vértice $C$: Intersección de $r_2$ y $r_4$ $x - 2 = -2 \Rightarrow x = 0$. Luego, $C = (0, 2)$.Vértice $D$: Intersección de $r_2$ y $r_3$ $$\begin{cases} x - y = -2 \\ x + 3y = 2 \end{cases} \Rightarrow (y - 2) + 3y = 2 \Rightarrow 4y = 4 \Rightarrow y = 1; x = -1$$. Luego, $D = (-1, 1)$.Vértice $E$: Intersección de $r_1$ y $r_3$ $$\begin{cases} x + y = 4 \\ x + 3y = 2 \end{cases} \Rightarrow (4 - y) + 3y = 2 \Rightarrow 2y = -2 \Rightarrow y = -1; x = 5$$. Luego, $E = (5, -1)$.

Para que un punto pertenezca a la región, debe satisfacer todas las inecuaciones del sistema. Comprobamos el punto $(4, -0.75)$:1) $x + y \le 4 \Rightarrow 4 + (-0.75) = 3.25 \le 4$ (CUMPLE) 2) $x - y \ge -2 \Rightarrow 4 - (-0.75) = 4.75 \ge -2$ (CUMPLE) 3) $x + 3y \ge 2 \Rightarrow 4 + 3(-0.75) = 4 - 2.25 = 1.75 < 2$ (NO CUMPLE) 4) $y \le 2 \Rightarrow -0.75 \le 2$ (CUMPLE)Como no cumple la tercera inecuación, el punto $(4, -0.75)$ no pertenece a la región.

Evaluamos la función objetivo $F(x, y) = x + y$ en los vértices hallados:$F(2, 2) = 2 + 2 = 4$ $F(0, 2) = 0 + 2 = 2$ $F(-1, 1) = -1 + 1 = 0$ $F(5, -1) = 5 - 1 = 4$

El valor máximo es $4$ y se alcanza en todos los puntos del segmento que une los vértices $B(2, 2)$ y $E(5, -1)$, ya que la función objetivo es paralela al lado $x + y = 4$. El valor mínimo es $0$ y se alcanza en el vértice $D(-1, 1)$.