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T1: Interacción gravitatoria
Potencial y campo gravitatorio
Problema
2022 · Extraordinaria · Suplente
A1-b
Examen
b) Dos masas de 11 y 3 kg3 \text{ kg} se encuentran situadas en los puntos A(1,0) mA(1,0) \text{ m} y B(6,0) mB(6,0) \text{ m}, respectivamente. Calcule: i) el potencial gravitatorio en el origen de coordenadas; ii) el campo gravitatorio en el origen de coordenadas y iii) la fuerza gravitatoria que actuará sobre una partícula de 0,5 kg0,5 \text{ kg} situada en el origen de coordenadas.

Dato: G=6,67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}

potencial gravitatoriocampo gravitatoriofuerza gravitatoria
b) Calcule:

Datos:

m1=1 kgsituada en A(1,0) mm_1 = 1 \text{ kg} \quad \text{situada en } A(1,0) \text{ m}
m2=3 kgsituada en B(6,0) mm_2 = 3 \text{ kg} \quad \text{situada en } B(6,0) \text{ m}
mp=0,5 kgsituada en el origen O(0,0) mm_p = 0,5 \text{ kg} \quad \text{situada en el origen } O(0,0) \text{ m}
G=6,67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}

Las distancias de las masas al origen de coordenadas O(0,0)O(0,0) son:

r1=∣A⃗−O⃗∣=∣(1,0)−(0,0)∣=∣(1,0)∣=1 mr_1 = |\vec{A} - \vec{O}| = |(1,0) - (0,0)| = |(1,0)| = 1 \text{ m}
r2=∣B⃗−O⃗∣=∣(6,0)−(0,0)∣=∣(6,0)∣=6 mr_2 = |\vec{B} - \vec{O}| = |(6,0) - (0,0)| = |(6,0)| = 6 \text{ m}

i) El potencial gravitatorio en el origen de coordenadas.El potencial gravitatorio VV en un punto debido a una masa puntual mm a una distancia rr viene dado por la expresión:

V=−GmrV = -G \frac{m}{r}

El potencial gravitatorio total en el origen VOV_O es la suma escalar de los potenciales creados por cada masa:

VO=V1+V2=−Gm1r1−Gm2r2=−G(m1r1+m2r2)V_O = V_1 + V_2 = -G \frac{m_1}{r_1} - G \frac{m_2}{r_2} = -G \left( \frac{m_1}{r_1} + \frac{m_2}{r_2} \right)

Sustituyendo los valores numéricos:

VO=−6,67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2(1 kg1 m+3 kg6 m)V_O = -6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2} \left( \frac{1 \text{ kg}}{1 \text{ m}} + \frac{3 \text{ kg}}{6 \text{ m}} \right)
VO=−6,67⋅10−11(1+0,5) J⋅kg−1V_O = -6,67 \cdot 10^{-11} \left( 1 + 0,5 \right) \text{ J} \cdot \text{kg}^{-1}
VO=−6,67⋅10−11⋅1,5 J⋅kg−1V_O = -6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 1,5 \text{ J} \cdot \text{kg}^{-1}
VO=−1,0005⋅10−10 J⋅kg−1V_O = -1,0005 \cdot 10^{-10} \text{ J} \cdot \text{kg}^{-1}

Redondeando a tres cifras significativas, el potencial gravitatorio en el origen es:

VO≈−1,00⋅10−10 J⋅kg−1V_O \approx -1,00 \cdot 10^{-10} \text{ J} \cdot \text{kg}^{-1}

ii) El campo gravitatorio en el origen de coordenadas.El campo gravitatorio g⃗\vec{g} en un punto debido a una masa puntual mm siempre apunta hacia la masa. Su módulo es g=Gmr2g = G \frac{m}{r^2}. Para determinar la dirección, consideramos el vector unitario u^\hat{u} que va desde el punto donde se calcula el campo (el origen) hacia la masa.Para la masa m1=1 kgm_1 = 1 \text{ kg} en A(1,0)A(1,0), el vector desde el origen O(0,0)O(0,0) a A(1,0)A(1,0) es OA⃗=(1,0)−(0,0)=(1,0) m\vec{OA} = (1,0) - (0,0) = (1,0) \text{ m}. Por lo tanto, el vector unitario que define la dirección del campo en el origen hacia m1m_1 es u^1=i^\hat{u}_1 = \hat{i}. La distancia es r1=1 mr_1 = 1 \text{ m}.

g⃗1=Gm1r12i^\vec{g}_1 = G \frac{m_1}{r_1^2} \hat{i}

Para la masa m2=3 kgm_2 = 3 \text{ kg} en B(6,0)B(6,0), el vector desde el origen O(0,0)O(0,0) a B(6,0)B(6,0) es OB⃗=(6,0)−(0,0)=(6,0) m\vec{OB} = (6,0) - (0,0) = (6,0) \text{ m}. Por lo tanto, el vector unitario que define la dirección del campo en el origen hacia m2m_2 es u^2=i^\hat{u}_2 = \hat{i}. La distancia es r2=6 mr_2 = 6 \text{ m}.

g⃗2=Gm2r22i^\vec{g}_2 = G \frac{m_2}{r_2^2} \hat{i}

El campo gravitatorio total en el origen g⃗O\vec{g}_O es la suma vectorial de los campos creados por cada masa:

g⃗O=g⃗1+g⃗2=Gm1r12i^+Gm2r22i^=G(m1r12+m2r22)i^\vec{g}_O = \vec{g}_1 + \vec{g}_2 = G \frac{m_1}{r_1^2} \hat{i} + G \frac{m_2}{r_2^2} \hat{i} = G \left( \frac{m_1}{r_1^2} + \frac{m_2}{r_2^2} \right) \hat{i}

Sustituyendo los valores numéricos:

g⃗O=6,67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2(1 kg(1 m)2+3 kg(6 m)2)i^\vec{g}_O = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2} \left( \frac{1 \text{ kg}}{(1 \text{ m})^2} + \frac{3 \text{ kg}}{(6 \text{ m})^2} \right) \hat{i}
g⃗O=6,67⋅10−11(11+336) N⋅kg−1i^\vec{g}_O = 6,67 \cdot 10^{-11} \left( \frac{1}{1} + \frac{3}{36} \right) \text{ N} \cdot \text{kg}^{-1} \hat{i}
g⃗O=6,67⋅10−11(1+112) N⋅kg−1i^\vec{g}_O = 6,67 \cdot 10^{-11} \left( 1 + \frac{1}{12} \right) \text{ N} \cdot \text{kg}^{-1} \hat{i}
g⃗O=6,67⋅10−11(12+112) N⋅kg−1i^\vec{g}_O = 6,67 \cdot 10^{-11} \left( \frac{12+1}{12} \right) \text{ N} \cdot \text{kg}^{-1} \hat{i}
g⃗O=6,67⋅10−11⋅1312 N⋅kg−1i^\vec{g}_O = 6,67 \cdot 10^{-11} \cdot \frac{13}{12} \text{ N} \cdot \text{kg}^{-1} \hat{i}
g⃗O=7,22583⋅10−11 N⋅kg−1i^\vec{g}_O = 7,22583 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{kg}^{-1} \hat{i}

Redondeando a tres cifras significativas, el campo gravitatorio en el origen es:

g⃗O≈7,23⋅10−11 N⋅kg−1i^\vec{g}_O \approx 7,23 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{kg}^{-1} \hat{i}

iii) La fuerza gravitatoria que actuará sobre una partícula de 0,5 kg0,5 \text{ kg} situada en el origen de coordenadas.La fuerza gravitatoria F⃗\vec{F} sobre una partícula de masa mpm_p en un punto donde el campo gravitatorio es g⃗O\vec{g}_O viene dada por:

F⃗=mpg⃗O\vec{F} = m_p \vec{g}_O

Sustituyendo los valores numéricos:

F⃗=0,5 kg⋅(7,22583⋅10−11 N⋅kg−1i^)\vec{F} = 0,5 \text{ kg} \cdot (7,22583 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{kg}^{-1} \hat{i})
F⃗=3,612915⋅10−11 Ni^\vec{F} = 3,612915 \cdot 10^{-11} \text{ N} \hat{i}

Redondeando a tres cifras significativas, la fuerza gravitatoria sobre la partícula es:

F⃗≈3,61⋅10−11 Ni^\vec{F} \approx 3,61 \cdot 10^{-11} \text{ N} \hat{i}