T1: Interacción gravitatoria

Órbitas

Problema

2019 · Extraordinaria · Suplente

1B-b

b) Un satélite de

500 \text{ kg}

se pone a orbitar en torno a un planeta, a una distancia de

24000 \text{ km}

de su centro y con un periodo de

31 \text{ horas}

terrestres. i) Calcule la masa del planeta. ii) Si se traslada el satélite a una órbita de radio

10000 \text{ km}

, calcule la variación de energía cinética entre ambas órbitas.

Dato: $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{kg}^2$

Masa de un planetaKeplerEnergía cinética

b) i) Calcule la masa del planeta.

Para un satélite en órbita circular alrededor de un planeta, la fuerza gravitatoria entre el planeta y el satélite proporciona la fuerza centrípeta necesaria para mantener la órbita. Podemos establecer la siguiente igualdad:

F_g = F_c

Donde $F_g$ es la fuerza gravitatoria y $F_c$ es la fuerza centrípeta. La velocidad orbital del satélite se puede expresar en términos de su período $T$ y el radio de la órbita $r$ .

G \frac{M_p m_s}{r^2} = m_s \frac{v^2}{r}

v = \frac{2 \pi r}{T}

Sustituyendo la expresión de $v$ en la ecuación de fuerzas y simplificando $m_s$ :

G \frac{M_p}{r^2} = \frac{1}{r} \left(\frac{2 \pi r}{T}\right)^2

G \frac{M_p}{r^2} = \frac{4 \pi^2 r}{T^2}

Despejamos la masa del planeta $M_p$ :

M_p = \frac{4 \pi^2 r^3}{G T^2}

Convertimos los datos a unidades del Sistema Internacional:

r = 24000 \text{ km} = 24000 \cdot 10^3 \text{ m} = 2,4 \cdot 10^7 \text{ m}

T = 31 \text{ horas} = 31 \cdot 3600 \text{ s} = 111600 \text{ s}

Ahora, sustituimos los valores numéricos:

M_p = \frac{4 \pi^2 (2,4 \cdot 10^7 \text{ m})^3}{(6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{kg}^2) (111600 \text{ s})^2}

M_p = \frac{4 \pi^2 (1,3824 \cdot 10^{22} \text{ m}^3)}{(6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{kg}^2) (1,245456 \cdot 10^{10} \text{ s}^2)}

M_p = \frac{5,4594 \cdot 10^{23} \text{ m}^3}{8,3063 \cdot 10^{-1} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{s}^2 / \text{kg}^2}

M_p \approx 6,57 \cdot 10^{23} \text{ kg}

La masa del planeta es $6,57 \cdot 10^{23} \text{ kg}$ .

b) ii) Si se traslada el satélite a una órbita de radio

10000 \text{ km}

, calcule la variación de energía cinética entre ambas órbitas.

La energía cinética de un satélite en órbita circular está relacionada con la fuerza gravitatoria. Sabemos que $m_s v^2/r = G M_p m_s/r^2$ , de donde $v^2 = G M_p/r$ . Por lo tanto, la energía cinética es:

E_c = \frac{1}{2} m_s v^2 = \frac{1}{2} m_s \left(G \frac{M_p}{r}\right) = \frac{G M_p m_s}{2r}

Calculamos la energía cinética en la órbita inicial ( $r_1 = 2,4 \cdot 10^7 \text{ m}$ ):

E_{c1} = \frac{(6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{kg}^2) (6,57 \cdot 10^{23} \text{ kg}) (500 \text{ kg})}{2 (2,4 \cdot 10^7 \text{ m})}

E_{c1} = \frac{2,19195 \cdot 10^{16} \text{ J}}{4,8 \cdot 10^7}

E_{c1} \approx 4,567 \cdot 10^8 \text{ J}

Calculamos la energía cinética en la nueva órbita ( $r_2 = 10000 \text{ km} = 1,0 \cdot 10^7 \text{ m}$ ):

E_{c2} = \frac{(6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{kg}^2) (6,57 \cdot 10^{23} \text{ kg}) (500 \text{ kg})}{2 (1,0 \cdot 10^7 \text{ m})}

E_{c2} = \frac{2,19195 \cdot 10^{16} \text{ J}}{2,0 \cdot 10^7}

E_{c2} \approx 1,096 \cdot 10^9 \text{ J}

La variación de energía cinética $\Delta E_c$ es la energía cinética final menos la inicial:

\Delta E_c = E_{c2} - E_{c1}

\Delta E_c = (1,096 \cdot 10^9 \text{ J}) - (4,567 \cdot 10^8 \text{ J})

\Delta E_c = (10,96 \cdot 10^8 \text{ J}) - (4,567 \cdot 10^8 \text{ J})

\Delta E_c \approx 6,39 \cdot 10^8 \text{ J}

La variación de energía cinética entre ambas órbitas es de $6,39 \cdot 10^8 \text{ J}$ . El aumento de energía cinética indica que se requiere un trabajo externo para trasladar el satélite a una órbita de menor radio, o que la energía cinética aumenta si el satélite desciende a una órbita más cercana.