T6: Física nuclear · Radiactividad — FISICA PEvAU Andalucía 2019

Radiactividad

Problema

2019 · Extraordinaria · Suplente

4A-b

b) El yodo-131 tiene un periodo de semidesintegración de

8,02 \text{ días}

y una masa atómica de

130,9061 \text{ u}

. Calcule la constante de desintegración, la actividad inicial de una muestra de

1,88 \text{ mg}

y el tiempo necesario para que su masa se reduzca a

0,47 \text{ mg}

Datos: $1 \text{ u} = 1,66 \cdot 10^{-27} \text{ kg}$

Ley de desintegraciónActividad radiactivaPeriodo de semidesintegración

b) Calcule la constante de desintegración, la actividad inicial de una muestra de

1,88 \text{ mg}

y el tiempo necesario para que su masa se reduzca a

0,47 \text{ mg}

Cálculo de la constante de desintegración ($\lambda$)

La relación entre el periodo de semidesintegración ( $T_{1/2}$ ) y la constante de desintegración ( $\lambda$ ) es:

T_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda}

Primero, convertimos el periodo de semidesintegración a segundos:

T_{1/2} = 8,02 \text{ días} \times \frac{24 \text{ h}}{1 \text{ día}} \times \frac{3600 \text{ s}}{1 \text{ h}} = 692524,8 \text{ s}

Ahora, calculamos la constante de desintegración:

\lambda = \frac{\ln(2)}{T_{1/2}} = \frac{0,693}{692524,8 \text{ s}} \approx 1,0007 \times 10^{-6} \text{ s}^{-1}

Cálculo de la actividad inicial ($A_0$)

La actividad inicial se define como $A_0 = \lambda N_0$ , donde $N_0$ es el número inicial de núcleos radiactivos. Para calcular $N_0$ , necesitamos la masa inicial de la muestra y la masa atómica del yodo-131, junto con el número de Avogadro.Datos:Masa inicial ( $m_0$ ) $= 1,88 \text{ mg} = 1,88 \times 10^{-3} \text{ g}$ Masa atómica del I-131 (M) $= 130,9061 \text{ u}$ . Numéricamente, la masa molar es $130,9061 \text{ g/mol}$ .Número de Avogadro ( $N_A$ ) $= 6,022 \times 10^{23} \text{ mol}^{-1}$ Calculamos el número inicial de núcleos ( $N_0$ ):

N_0 = \frac{m_0}{M} N_A = \frac{1,88 \times 10^{-3} \text{ g}}{130,9061 \text{ g/mol}} \times 6,022 \times 10^{23} \text{ mol}^{-1} \approx 8,647 \times 10^{18} \text{ núcleos}

Ahora calculamos la actividad inicial:

A_0 = \lambda N_0 = (1,0007 \times 10^{-6} \text{ s}^{-1}) \times (8,647 \times 10^{18}) \approx 8,653 \times 10^{12} \text{ Bq}

Cálculo del tiempo necesario para que la masa se reduzca a $0,47 \text{ mg}$

La ley de desintegración radiactiva para la masa es:

m(t) = m_0 e^{-\lambda t}

Tenemos $m_0 = 1,88 \text{ mg}$ y $m(t) = 0,47 \text{ mg}$ . Sustituimos estos valores:

0,47 \text{ mg} = 1,88 \text{ mg} \cdot e^{-\lambda t}

Dividimos ambos lados por $1,88 \text{ mg}$ :

\frac{0,47}{1,88} = e^{-\lambda t}

0,25 = e^{-\lambda t}

Tomamos el logaritmo natural en ambos lados:

\ln(0,25) = -\lambda t

Despejamos $t$ :

t = \frac{\ln(0,25)}{-\lambda}

Sustituimos el valor de $\lambda$ :

t = \frac{-1,38629}{-1,0007 \times 10^{-6} \text{ s}^{-1}} \approx 1,385 \times 10^{6} \text{ s}

Convertimos el tiempo a días:

t = 1,385 \times 10^{6} \text{ s} \times \frac{1 \text{ h}}{3600 \text{ s}} \times \frac{1 \text{ día}}{24 \text{ h}} \approx 16,03 \text{ días}

Alternativamente, dado que $0,47/1,88 = 1/4 = (1/2)^2$ , esto significa que han transcurrido dos periodos de semidesintegración.

t = 2 \times T_{1/2} = 2 \times 8,02 \text{ días} = 16,04 \text{ días}