T1: Interacción gravitatoria

Trabajo y energía

Problema

2021 · Extraordinaria · Titular

A2-b

b) Un objeto de 2 kg, inicialmente en reposo, asciende por un plano inclinado de 30º respecto a la horizontal debido a la acción de una fuerza de 30 N paralela a dicho plano. El coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano es 0,1. i) Dibuje todas las fuerzas que actúan sobre el objeto y calcule sus módulos. ii) Mediante consideraciones energéticas, determine la variación de energía cinética, potencial y mecánica cuando el objeto ha ascendido una altura de 1,5 m.

Dato: $g = 9,8 \text{ m s}^{-2}$

Plano inclinadoEnergía cinéticaRozamiento

b) i) Diagrama de fuerzas y cálculo de sus módulos.

Las fuerzas que actúan sobre el objeto son: el Peso ( $P$ ), la Fuerza Normal ( $N$ ), la Fuerza de Rozamiento ( $fr$ ) y la Fuerza Aplicada ( $F$ ) de 30 N. Dado que el objeto asciende, la fuerza de rozamiento se opone al movimiento, dirigiéndose hacia abajo a lo largo del plano. La fuerza aplicada ( $F$ ) actúa paralela al plano, hacia arriba.

Cálculo de los módulos de las fuerzas:Datos:

m = 2 \text{ kg}

\alpha = 30^\circ

F_{\text{aplicada}} = 30 \text{ N}

\mu = 0.1

g = 9.8 \text{ m s}^{-2}

1. Peso ( $P$ ):

P = m \cdot g

P = 2 \text{ kg} \cdot 9.8 \text{ m s}^{-2} = 19.6 \text{ N}

2. Componentes del Peso:

P_x = P \cdot \sin(\alpha)

P_x = 19.6 \text{ N} \cdot \sin(30^\circ) = 19.6 \text{ N} \cdot 0.5 = 9.8 \text{ N}

P_y = P \cdot \cos(\alpha)

P_y = 19.6 \text{ N} \cdot \cos(30^\circ) \approx 19.6 \text{ N} \cdot 0.866 = 16.97 \text{ N}

3. Fuerza Normal ( $N$ ):En la dirección perpendicular al plano, no hay aceleración, por lo tanto:

\Sigma F_y = 0 \Rightarrow N - P_y = 0

N = P_y = 16.97 \text{ N}

4. Fuerza de Rozamiento ( $fr$ ):

fr = \mu \cdot N

fr = 0.1 \cdot 16.97 \text{ N} = 1.697 \text{ N}

b) ii) Variación de energía cinética, potencial y mecánica.

Altura ascendida: $h = 1.5 \text{ m}$ . El objeto estaba inicialmente en reposo ( $v_0 = 0$ ). Primero, calculamos la distancia $d$ recorrida a lo largo del plano inclinado.

\sin(\alpha) = \frac{h}{d} \Rightarrow d = \frac{h}{\sin(\alpha)}

d = \frac{1.5 \text{ m}}{\sin(30^\circ)} = \frac{1.5 \text{ m}}{0.5} = 3 \text{ m}

1. Variación de Energía Potencial Gravitatoria ( $\Delta E_p$ ):

\Delta E_p = mgh

\Delta E_p = 2 \text{ kg} \cdot 9.8 \text{ m s}^{-2} \cdot 1.5 \text{ m} = 29.4 \text{ J}

2. Variación de Energía Mecánica ( $\Delta E_m$ ):La variación de energía mecánica es igual al trabajo realizado por las fuerzas no conservativas. En este caso, la fuerza aplicada ( $F_{\text{aplicada}}$ ) y la fuerza de rozamiento ( $fr$ ) son no conservativas.

W_{nc} = W_{F_{\text{aplicada}}} + W_{fr}

W_{F_{\text{aplicada}}} = F_{\text{aplicada}} \cdot d \cdot \cos(0^\circ) = 30 \text{ N} \cdot 3 \text{ m} = 90 \text{ J}

W_{fr} = fr \cdot d \cdot \cos(180^\circ) = -fr \cdot d = -1.697 \text{ N} \cdot 3 \text{ m} = -5.091 \text{ J}

\Delta E_m = W_{nc} = 90 \text{ J} - 5.091 \text{ J} = 84.909 \text{ J}

3. Variación de Energía Cinética ( $\Delta E_c$ ):La variación de energía mecánica es la suma de la variación de energía cinética y la variación de energía potencial.

\Delta E_m = \Delta E_c + \Delta E_p

\Delta E_c = \Delta E_m - \Delta E_p

\Delta E_c = 84.909 \text{ J} - 29.4 \text{ J} = 55.509 \text{ J}