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T2: Interacción electromagnética
Trabajo eléctrico
Problema
2016 · Extraordinaria · Titular
3B-b
Examen

Dos cargas puntuales iguales, de −3 \muC-3 \text{ \mu C} cada una, están situadas en los puntos A (2,5) m y B (8,2) m.

b) Determine el trabajo necesario para trasladar una carga de 1 \muC1 \text{ \mu C} desde el punto P (2,0) m hasta el punto O (0,0). Comente el resultado obtenido.

Dato: K=9⋅109 N m2 C−2K = 9 \cdot 10^{9} \text{ N m}^2 \text{ C}^{-2}

Trabajo eléctricoPotencial eléctrico
b) Trabajo necesario para trasladar una carga de 1 μC1\,\mu\text{C} desde P(2,0) hasta O(0,0).

El trabajo necesario para mover una carga qq entre dos puntos viene dado por la diferencia de energía potencial eléctrica:

W=q⋅(VP−VO)W = q\cdot(V_P - V_O)

donde VPV_P y VOV_O son los potenciales eléctricos en los puntos P y O debidos a las dos cargas qA=qB=−3 μCq_A = q_B = -3\,\mu\text{C}.

Cálculo de distancias desde cada carga hasta P(2,0)

Carga en A(2,5):

rAP=(2−2)2+(0−5)2=0+25=5 mr_{AP} = \sqrt{(2-2)^2 + (0-5)^2} = \sqrt{0+25} = 5\,\text{m}

Carga en B(8,2):

rBP=(2−8)2+(0−2)2=36+4=40=210 mr_{BP} = \sqrt{(2-8)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{36+4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}\,\text{m}
Potencial en P(2,0)
VP=KqArAP+KqBrBPV_P = K\frac{q_A}{r_{AP}} + K\frac{q_B}{r_{BP}}
VP=9×109⋅−3×10−65+9×109⋅−3×10−6210V_P = 9\times10^9 \cdot \frac{-3\times10^{-6}}{5} + 9\times10^9 \cdot \frac{-3\times10^{-6}}{2\sqrt{10}}
VP=−5400+9×109⋅−3×10−66,3246V_P = -5400 + 9\times10^9 \cdot \frac{-3\times10^{-6}}{6{,}3246}
VP=−5400+(−4269,6)=−9669,6 VV_P = -5400 + (-4269{,}6) = -9669{,}6\,\text{V}
Cálculo de distancias desde cada carga hasta O(0,0)

Carga en A(2,5):

rAO=(0−2)2+(0−5)2=4+25=29 m≈5,385 mr_{AO} = \sqrt{(0-2)^2 + (0-5)^2} = \sqrt{4+25} = \sqrt{29}\,\text{m} \approx 5{,}385\,\text{m}

Carga en B(8,2):

rBO=(0−8)2+(0−2)2=64+4=68 m≈8,246 mr_{BO} = \sqrt{(0-8)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{64+4} = \sqrt{68}\,\text{m} \approx 8{,}246\,\text{m}
Potencial en O(0,0)
VO=KqArAO+KqBrBOV_O = K\frac{q_A}{r_{AO}} + K\frac{q_B}{r_{BO}}
VO=9×109⋅−3×10−629+9×109⋅−3×10−668V_O = 9\times10^9 \cdot \frac{-3\times10^{-6}}{\sqrt{29}} + 9\times10^9 \cdot \frac{-3\times10^{-6}}{\sqrt{68}}
VO=−270005,385+−270008,246V_O = \frac{-27000}{5{,}385} + \frac{-27000}{8{,}246}
VO=−5013,0+(−3274,8)=−8287,8 VV_O = -5013{,}0 + (-3274{,}8) = -8287{,}8\,\text{V}
Cálculo del trabajo
W=q⋅(VP−VO)=1×10−6⋅(−9669,6−(−8287,8))W = q\cdot(V_P - V_O) = 1\times10^{-6}\cdot(-9669{,}6 - (-8287{,}8))
W=1×10−6⋅(−1381,8)W = 1\times10^{-6}\cdot(-1381{,}8)
W≈−1,38×10−3 JW \approx -1{,}38\times10^{-3}\,\text{J}
Comentario del resultado

El trabajo es negativo (W<0W < 0). Esto significa que el agente externo no necesita realizar trabajo positivo sobre la carga para desplazarla de P a O; al contrario, es el campo eléctrico quien realiza trabajo positivo sobre la carga. Físicamente, la carga de +1 μC+1\,\mu\text{C} se mueve desde una zona de menor potencial (P, más próxima a las cargas negativas) hacia una zona de mayor potencial (O, más alejada), de modo que es necesario realizar trabajo en contra del campo para llevar la carga desde O hasta P, o equivalentemente, el campo favorece el movimiento de P a O. El valor negativo del trabajo del agente externo indica que la energía potencial eléctrica del sistema disminuye al pasar de P a O.