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T2: Interacción electromagnética
Electrostática
Problema
2020 · Extraordinaria · Suplente
6-b
Examen

Dos cargas puntuales de +10−6 C+10^{-6} \text{ C} y −10−6 C-10^{-6} \text{ C} se encuentran situadas en las posiciones (0,−4) m(0,-4) \text{ m} y (0,4) m(0,4) \text{ m}, respectivamente.

b) i) Calcule el potencial en las posiciones (8,0) m(8,0) \text{ m} y (0,6) m(0,6) \text{ m}. ii) Determine el trabajo realizado por el campo al trasladar una carga de +5⋅10−3 C+5 \cdot 10^{-3} \text{ C} desde el punto (8,0) m(8,0) \text{ m} al (0,6) m(0,6) \text{ m} e interprete el signo del trabajo.

Dato: K=9⋅109 N m2 C−2K = 9 \cdot 10^9 \text{ N m}^2 \text{ C}^{-2}

Potencial eléctricoTrabajo de campo
b) i) Calcule el potencial en las posiciones (8,0) m(8,0) \text{ m} y (0,6) m(0,6) \text{ m}.

Las cargas puntuales son q1=+10−6 Cq_1 = +10^{-6} \text{ C} en (0,−4) m(0,-4) \text{ m} y q2=−10−6 Cq_2 = -10^{-6} \text{ C} en (0,4) m(0,4) \text{ m}. La constante de Coulomb es K=9⋅109 N m2 C−2K = 9 \cdot 10^9 \text{ N m}^2 \text{ C}^{-2}. El potencial eléctrico en un punto debido a un conjunto de cargas puntuales es la suma algebraica de los potenciales individuales, V=∑KqiriV = \sum \frac{Kq_i}{r_i}.Para el punto A=(8,0) mA = (8,0) \text{ m}:

r1A=(8−0)2+(0−(−4))2=82+42=64+16=80 mr_{1A} = \sqrt{(8-0)^2 + (0-(-4))^2} = \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} \text{ m}
r2A=(8−0)2+(0−4)2=82+(−4)2=64+16=80 mr_{2A} = \sqrt{(8-0)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{8^2 + (-4)^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} \text{ m}
VA=Kq1r1A+Kq2r2AV_A = \frac{Kq_1}{r_{1A}} + \frac{Kq_2}{r_{2A}}
VA=9⋅109 N m2 C−2(+10−6 C80 m+−10−6 C80 m)V_A = 9 \cdot 10^9 \text{ N m}^2 \text{ C}^{-2} \left( \frac{+10^{-6} \text{ C}}{\sqrt{80} \text{ m}} + \frac{-10^{-6} \text{ C}}{\sqrt{80} \text{ m}} \right)
VA=9⋅109 N m2 C−2(10−6−10−680) C⋅m−1=0 VV_A = 9 \cdot 10^9 \text{ N m}^2 \text{ C}^{-2} \left( \frac{10^{-6} - 10^{-6}}{\sqrt{80}} \right) \text{ C} \cdot \text{m}^{-1} = 0 \text{ V}

Para el punto B=(0,6) mB = (0,6) \text{ m}:

r1B=(0−0)2+(6−(−4))2=02+102=10 mr_{1B} = \sqrt{(0-0)^2 + (6-(-4))^2} = \sqrt{0^2 + 10^2} = 10 \text{ m}
r2B=(0−0)2+(6−4)2=02+22=2 mr_{2B} = \sqrt{(0-0)^2 + (6-4)^2} = \sqrt{0^2 + 2^2} = 2 \text{ m}
VB=Kq1r1B+Kq2r2BV_B = \frac{Kq_1}{r_{1B}} + \frac{Kq_2}{r_{2B}}
VB=9⋅109 N m2 C−2(+10−6 C10 m+−10−6 C2 m)V_B = 9 \cdot 10^9 \text{ N m}^2 \text{ C}^{-2} \left( \frac{+10^{-6} \text{ C}}{10 \text{ m}} + \frac{-10^{-6} \text{ C}}{2 \text{ m}} \right)
VB=9⋅103 V(110−12)=9⋅103 V(0.1−0.5)V_B = 9 \cdot 10^3 \text{ V} \left( \frac{1}{10} - \frac{1}{2} \right) = 9 \cdot 10^3 \text{ V} (0.1 - 0.5)
VB=9⋅103 V(−0.4)=−3600 VV_B = 9 \cdot 10^3 \text{ V} (-0.4) = -3600 \text{ V}
b) ii) Determine el trabajo realizado por el campo al trasladar una carga de +5⋅10−3 C+5 \cdot 10^{-3} \text{ C} desde el punto (8,0) m(8,0) \text{ m} al (0,6) m(0,6) \text{ m} e interprete el signo del trabajo.

El trabajo realizado por el campo eléctrico al trasladar una carga q′q' desde un punto AA a un punto BB se calcula como WAB=q′(VA−VB)W_{AB} = q' (V_A - V_B).

q′=+5⋅10−3 Cq' = +5 \cdot 10^{-3} \text{ C}
VA=0 VV_A = 0 \text{ V}
VB=−3600 VV_B = -3600 \text{ V}
WAB=(+5⋅10−3 C)(0 V−(−3600 V))W_{AB} = (+5 \cdot 10^{-3} \text{ C}) (0 \text{ V} - (-3600 \text{ V}))
WAB=(5⋅10−3)(3600) JW_{AB} = (5 \cdot 10^{-3}) (3600) \text{ J}
WAB=18 JW_{AB} = 18 \text{ J}

Interpretación del signo del trabajo:El trabajo realizado por el campo eléctrico es positivo (WAB=+18 JW_{AB} = +18 \text{ J}). Esto significa que el campo realiza trabajo a favor del desplazamiento de la carga, es decir, el movimiento de la carga positiva desde el punto AA (donde el potencial es 0 V0 \text{ V}) al punto BB (donde el potencial es −3600 V-3600 \text{ V}) es un proceso espontáneo impulsado por el propio campo eléctrico. La energía potencial de la carga disminuye al moverse de un potencial mayor a uno menor.